赤げふの数学

数学･物理･微分の大学2年生赤げふのBLOG

■

[問題]

関数fのp回合成を $f^{p} (x)=\overbrace{f(f(\cdots f(}^{p}x) \cdots )$ と書く。

自然数pに対し複素数係数有理式 $f(x)$ で $f^{p}(x)=x$ ...(0)となるものを求めよ,

御無沙汰です。久しぶりの更新です|*･ω･)ﾁﾗｯ

自作問題です

ある意味不十分な解答です(ごめんなさい)

[解答]

$f^{p}(x)=x$ で右辺は $\mathbb{C} \cup \{\infty \}$ 上全単射なので、f(x)も上全単射である。...(1)

$f(x)$ は有理関数なので代数学の基本定理から

$f(x)=\dfrac{h(x)}{g(x)}$ (ただし既約分数、 $h(x)\perp g(x)$ )と因数分解できるが、

相異なる複素数 $u,v$ があって $h(u)=h(v)=0$ となるときfの単射性(1)に反するので

$h(x)$ は1次式の冪である。同様に $g(x)$ も1次式の冪。

ところで $g(x),h(x)$ の一方が2次以上の式ならf(x)の値を固定したとき

xの方程式で相異なる解が2つ以上出るが、fの全射性(1)に反する。

よって $g(x),h(x)$ は高々1次式。

まず $1$ 次式 $f(x)=ax+b$ と仮定して(0)から
$f^{p}(x)=a^{p} x+b\sum_{k=1}^{p} a^{k}=x$ より
$\zeta_{p}=e^{\frac{2\pi i}{p}}$ と置くと
$(a,b)=(1,0),(\zeta_{p}^{k} ,t)$ $(\forall t \in \mathbb{C},k=1,2,\cdots p-1)$
∴ $f(x)=x,\zeta^{k}_{p} x+t$ $(\forall t \in \mathbb{C},k=1,2,\cdots ,p-1)$ ...(2)

これを除くと

$f(x)= c+\dfrac{b}{x-a}$ . $(b\neq 0 )$ と書ける。

このとき次の事実が成立する。ただし $p$ > $1$

$あるtが存在してf(t)\neq t \cap f^{p}(t)=t\Leftrightarrow f^{p}(x)=x$

$(\Leftarrow )$ は自明。 $(\Rightarrow )$ は分母を払って

$f^{p}(x)=\dfrac{x+\alpha}{\beta x+\gamma}$ なる形に帰着できる。自由度は3なので

$a,b,c$ を調整し $\alpha =\beta =0$ 、 $\gamma=1$ に持ってければ勝ちです。

$f(x)$ の不動点について見ると、2次方程式から、高々2点の不動点が出る。

もし重解がある時、不動点は1つだけだがその点における微分係数は1になり、

結局2自由度分の情報が得られる。...(3)

あとは1点の情報 $f^{p}(t)=t$ を付加すれば $a,b,c$ を決定できるのでok

(3)の計算は、不動点zが $z=c+\dfrac{b}{z-a}$ を満たすので解いて

$z=\dfrac{a+c \pm \sqrt{(a-c)^{2}+4b}}{2}$ となる。重解の際 $-4b=(a-c)^{2}$ だが

$f'(\dfrac{a+c}{2})=\dfrac{-4b}{(a-c)^{2}}=1$ 。

よって示された。

以上より、解は

$f(x)=x,\zeta^{k}_{p} x+t$ $(\forall t \in \mathbb{C},k=1,2,\cdots ,p-1)$

$f(x)=c+\dfrac{b}{x-a} であるt\in \mathbb{C}が存在してf^{p}(t)=t\cap f(t)\neq t$

全単射であることが超強い条件だなという実感です。

最近ある研究の過程で次の微分方程式が出てきたんですが、

全く解けなくて1ヶ月以上苦しんでいます。

$y'^{2}-y''y=x^{-2}$

部分的な変形でも良いので何かお助けお願いします!

特殊すぎる解ですが

$\displaystyle y(x)=\lim_{h\to \infty} h+\dfrac{1}{h} \log x$

という「「発散表示」」は見つけました。

xについて同次形なので $x=e^{t}$ と置換し、

更に微分次数下げを行って、 $p=\dfrac{dy}{dt}$ とすれば

$p^{2}-py\left( \dfrac{dp}{dy}-1\right) =1$

が得られます。

log味が強いのでx=0での冪級数法は通じないでしょう。

x=1とかでプログラムで計算できる方とかいらっしゃらないかな