微分作用素諸定理 - 赤げふの数学

THEOREM 1

任意の $t \in \mathbb{C},f∈{}^{\infty} C$ に対し

$\displaystyle f(x+t)$

$\displaystyle =e^{-x-t} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \left( t\dfrac{d}{dx} +x+\dfrac{t}{2}\right) ^{n} f(x)$

$\displaystyle =e^{-x} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \left( t\dfrac{d}{dx} +x-\dfrac{t}{2}\right) ^{n} f(x)$

なんか使えそう(小並感

$f(x)=x^{0}$ (定値関数 )にしたらtの恒等式が出てきてexpの新表示作れるね。

Baker-Campbell-Hausdorff

THEOREM 2

任意の $1$ > $|x|$ について

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{2n+1} \left( \dfrac{{}_{2n} C_{n}}{4^{n} \sqrt [ 4 ] {1-x}}\right)$

$\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{2n+1} \left( \dfrac{{}_{2n} C_{n}}{4^{n} \sqrt [ 4] {1-x}}\right) ^{-1}$

この対称性の本質とは

x=1に自然境界だけど解析接続どうすんやろ(´・ω・｀)

THEOREM 3

任意の $f \in {}^{\infty} C$ について

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(\pi i)^{n}}{n!} \left( \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} -x^{2} \right) ^{n} f(x)$

$\displaystyle =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi i}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-itx} dt$

これほんと凄い。これは私が発見した定理じゃないです。実直線上の $sl(2,\mathbb{R} )$ 対称性

から導かれるschrendinger modelの系らしいです(完全理解してない)

THEOREM 4

任意の $\displaystyle f \in {}^{\infty} C$ について

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(4\pi i )^{n}}{n!} \left( \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} -x^{2} \right) ^{n} f(x)=f(x)$

恒等写像になるという非自明な面白シンプルな定理です。