赤げふの数学

数学･物理･微分の大学2年生赤げふのBLOG

ひとまず今日の問題

昨日の問題,計算ミスしてて、本当の答え求めたら答えが凄い汚い悪問でした

ごめんなさいぃ

今日はそんなことは無いです。

↓途中計算

f:id:AkaGhef:20180317110527p:image

作用素 $F_n (n=0,1,2, \cdots m )$ が

$\prod F_n =G$ で $G x=ax+b$ と分かっているとき

$G x=\cdots F_2 F_1 x$

$=\cdots F_3 F_2 (a_1 x+ b_1)$

$=\cdots F_4 F_3 (a_2 x +b_2$

etc.

と漸化式が立てられ、

$a_{m}=a$ , $b_{m}=b$

という方法が使えます

今回は $F_n =1+\dfrac{E^{6}}{n^{6}}$

そして $m=\infty$ とすると

$G= \dfrac{ \sinh (2\pi E)-\sinh (\pi E ) \cosh (\sqrt{3} \pi E)}{4\pi^{3} E^{3}}$

となります

漸化式はこれのと一致します!

今日の問題

$\displaystyle \int_{0}^{\infty } \dfrac{t(3- 4\pi t^{2}) }{e^{\pi t^{2}} ( e^{2\pi t }-1 )} dt$

メモ

$\Delta ABC$ においてa,B,Cが分かっている時、

(hはAからBCに下ろした垂線の長さ,面積S)

$b= \dfrac{a \sin B}{\sin (B+C)}$

$c=\dfrac{a \sin C}{\sin (B+C)}$

$h=a \dfrac{\sin B \sin C}{\sin (B+C)}$

$S=\dfrac{a^{2}}{2} \dfrac{\sin B \sin C}{\sin (B+C)}$

問題!

更新久しぶりです(*･ω･)*_ _)

なんか最近スランプだったので。

私のFF内のぬさんが紹介した

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{\zeta (k)}{k!}x^{k}$

に似てなくもない(ない)問題です!

次を計算せよ

$\displaystyle \dfrac{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-π)^{n}}{n!\zeta (2n+1)}}{\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} \dfrac{(-π)^m}{m!\zeta (2m+3)}}$

是非解いてみてくださいねฅ^•ω•^ฅﾆｬｰ

自作問題作りました!!

任意の集合の生成するガンマ関数のテイラー展開の

定理を発見しました、そこから作った自作の問題です(｀・∀・)ﾉｲｪ-ｲ！

次のを求めてみてください〜

(1) $\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty } \left( \dfrac{1}{2} \right) ^{k} \dfrac{\zeta (k)}{k}$

$e, \pi ,\gamma$ (オイラー･マスケローニ定数)を使った綺麗な答えです!

余裕余裕〜^な人は

(2) $\displaystyle \exp \left( 4\sum_{k=2}^{\infty } \left( \dfrac{3}{4} \right) ^{k} \dfrac{\zeta (k)}{k} \right)$

も求めてみてください〜＼(^o^)／

いつか解説と定理を出します。

e^γ

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d/dx ! 1/x 未解決

こんちは〜

赤げふです〜

進展途中です。どうしてもここからが分からないので置いときます。

ノルム $\displaystyle N(\alpha )=\sum_{k=2}^{\infty } k\alpha_{k}$ と

多重指数 $\alpha$ ( $\alpha_{k} \in \mathbb{N}_{0} (k\in \mathbb{N}_{\geq 2})$ 、 $\alpha_{1}=N(\alpha )$ )と

多重指数 $\phi$ ( $\phi_{1}=\dfrac{1}{1-x+\gamma}$ 、 $\phi_{n \neq 1}=\zeta (n)$ )で

$\displaystyle \dfrac{d}{dx}! \dfrac{1}{1-x}=\sum_{\alpha } \phi^{\alpha}$

と書けます。

x!の発散乗積表示(証明っぽいのあるけど確証なし)

注意この記事は信頼性に欠けます

オカシイです

$\displaystyle \varphi (x)=\prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{1+\frac{x}{n}}$

という奴と睨めっこしますよ〜(　＾ $\omega$ ＾)

$\varphi$ は $x=0$ を除いて常に発散します。

$\displaystyle \varphi (x)=\prod_{k=1}^{\infty } \dfrac{x+k}{k}$

と変形して、望遠鏡積(って言うのか分からないけども)から、

発散することは明らかですね(｀・ $\forall$ ・)ﾉｲｪ-ｲ！

でも実は

＿人人人人＿

＞ $\varphi (x)=x!$ ＜

￣Y^Y^Y^Y￣

と思うんです!!( $\zeta (1)=\gamma$ と仮定するならば)

$\displaystyle \dfrac{1}{\Gamma (x)}=xe^{\gamma x} \prod_{k=1}^{\infty }\dfrac{1+\frac{x}{k}}{e^{\frac{x}{k}}}$

という公式が世にはあります(´・ $\omega$ ・｀)変形し、

$e^{\gamma x}x!=\dfrac{\exp (x\zeta (1))}{\prod_{k=1}^{\infty } (1+\frac{x}{k})}$

ここで $\zeta (1)=\gamma$ をつかい

$\displaystyle x!=\prod_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{k}}$

と示されました(・ $\nabla$ ・ )

ヒューリスティクス的には、 $0!$ は自明に $\varphi (0)=1$

となりますし、xが負整数ならば部分積の段階で $\infty$ が出てくる様子は $x!$ そのものであります。

形上、ゼータとガンマが友達っぽいのが掴めます

ガンマ関数の逆数の公式ですが、あれにはこの $\varphi$ に収束因子

$e^{\gamma x}=\prod_{k=1}^{\infty} e^{\dfrac{x}{k}}$

が掛けられると解釈できます。収束因子が発散してるのも変ですが

今日の発見です。ありがとうございました〜(｡･ $\omega$ ･)ﾉﾞ