2017-12-17

未解決問題

$\displaystyle N\in \mathbb{N}, \sum_{\frac{\sum ka_{k}=N}{k,a_{k} \in \mathbb{N}}} \prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{a_{n}}a_{n}!}=1$

証明求む

2017-12-17

Γのn階微分の1

おはっよー赤げふですっ(*･ω･)*_ _)

$\Gamma^{(n)} (1)$ の表示が出来ました!!分割数が出てきますよ〜

$\zeta (1)=\gamma$ と置くと物凄く都合いいのでここだけそうします。

$\displaystyle \Gamma^{(n)} (1)=n!\sum_{\frac{\sum ka_{k}=n}{k,a_{k} \in \mathbb{N}}} \prod_{m=1}^{\infty } \dfrac{\zeta (m)^{a_{m}}}{m^{a_{m}}a_{m}!} (-1)^{ma_{m}}$

です。和の取り方が分割数なんですね〜。

2017-12-10

ヘロンの公式これなら導ける?!

え?って感じでヘロンの公式出して見ようと思います。a,b,cが3辺の長さと思ってください。初っ端ワケワカメですが、

$a+b+c=0$

$a+b=-c$

両辺２乗して

$a^{2}+b^{2}-c^{2}=-2ab$

両辺２乗して

$a^{4}+b^{4}+c^{4}-2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2c^{2}a^{2}=0$

両辺-1/16倍して√付けて中身を因数分解すれば左辺がヘロンの公式になっています!!

まぁもっとも因数分解しなくても公式としても機能しますが。

この原理がなんなのか知りたいです!!

2017-12-06

真偽問う!!

(*´・ω・)ﾉこんばんわぁ

Wikipediaサーフィンしてるとこんなの見つけました

$1-1+2-6+24-...=0.596347362323194074341...$

どうみてもおかしいので解析接続の賜物なんでしょう(´・ω・｀)

カラクリは至って単純です。x!をまずEulerによる積分表示に書き換えます。

$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} k!$

$=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \int_{0}^{\infty} t^{k}e^{-t} dt$

$=\int_{0}^{\infty} \bigg ( \sum_{k=0}^{\infty} (-t)^{k} \bigg )e^{-t} dt$

$=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-t}}{1+t} dt$ ...(A)

$=0.596347362323194074341...$

さてここからが私が問いたい事です。

自然数の階乗の総和は0.6971794...か?

先程の数式は $(-1)^{k}$ を抜かして書き換えれば(A)は

$=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-t}}{1-t} dt$

となり、計算方法としては

$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \bigg ( \int_{0}^{1-\epsilon } +\int_{1+\epsilon}^{\infty} \bigg ) \dfrac{e^{-t}}{1-t} dt$

従って

$\sum_{k=0}^{\infty} k! =0.6971748832350660687655...$

と計算されます。

これはナンセンスなのでしょうか??

2017-12-02

zeta(d/dx)x^3

今日はとある需要皆無な公式を見つけましたのでご紹介致します。天下り的ですが、以下のように定数を定めます。

$Z_{0}=-\frac{1}{2}$

$Z_{1} =0$

$Z_{2} =\frac{1}{2} \gamma^{2} +\gamma_{1} -\frac{1}{4} \zeta (2)$

$Z_{3} =\gamma^{3}+3\gamma \gamma_{1} +\frac{2}{3} \gamma_{2} -\zeta (3)$

とすると

$(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{0}=Z_{0}$

$(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{1}=Z_{0}x+Z_{1}$

$(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{2}=Z_{0}x^{2}+2Z_{1}x+Z_{2}$

$(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{3}=Z_{0}x^{3}+3Z_{1}x^{2}+3Z_{2}x+Z_{3}$

と書けるんですね〜(´つヮ⊂)ｳｵｫwww

形に着目すると(二項係数の形ミスってて申しわけないです)

$(2\pi )^{-\frac{d}{dx}} \zeta (\frac{d}{dx})x^{n}=\sum_{k=0}^{\infty} x^{n-k} _{n}C_{k}Z_{k}$

と予想できます( $Z_{4}$ 以降の値が分からないのでなんとも言えないですが...。)

一個ずつ紐解いていきましょう(´・ω・｀)

以前記事で

$a^{\frac{d}{dx}} =E^{\log a}$

を示しました。なので

$(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}=E^{-\log 2\pi}$

見た事あるような定数が浮かんできます(´∀｀*)

そして

$\zeta (\frac{d}{dx})=\sum_{k=1}^{\infty} E^{-\log k}$

です。

これをxに作用させると、

$\zeta (\frac{d}{dx})x=x \sum_{k=1}^{\infty} 1- \sum_{j=1}^{\infty} \log j$

$=x\zeta (0) -\zeta '(0)$

$=-\dfrac{x+\log \pi}{2}$

となります( ﾟωﾟ)ありゃりゃ

ゼータ関数の特殊値

$\zeta (0)=-\dfrac{1}{2}$

$\zeta '(0)=\log 2\pi$

を使いました。また、 $x^{2}$ に作用することにより

$\zeta(\frac{d}{dx})x^{2}=x^{2} \sum_{k=1}^{\infty} 1- 2x\sum_{j=1}^{\infty} \log j +\sum_{i=1}^{\infty} \log^{2} i$

第3項をゴリ押しの手計算で求めました、大変。

第3項の計算は以下のように発散級数を表せます(｀・∀・)ﾉｲｪ-ｲ！

$\sum_{i=1}^{\infty} \log^{2} i =\gamma_{1}-\dfrac{\pi^{2}}{24}+\dfrac{\gamma^{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\log^{2} 2\pi$

改めて書くと

$(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{3}=-\frac{1}{2}x^{3}+3(\frac{1}{2} \gamma^{2} +\gamma_{1} -\frac{1}{4} \zeta (2))x+(\gamma^{3}+3\gamma \gamma_{1} +\frac{2}{3} \gamma_{2} -\zeta (3))$