赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

微分作用素に現れるベクトル空間

量子力学にある有名な等式

\dfrac{d}{dx} x -x \dfrac{d}{dx} =1

があります。証明は以前私の記事でしたんですが、

交換子 [ A,B ] =AB-BAを用いてn変数に拡張しますと

[ \dfrac{d}{dx_i} ,x_i =1]

i \neq j \Rightarrow [ \dfrac{d}{dx_i} ,x_j ]=0

微分する対象の変数が異なる場合スカラーとみなせますね。

故に[ \dfrac{d}{dx_i} ,x_j ] = \delta_{ij}

これが双対空間の規定

 \displaystyle [  \frac{d}{dx_j} ,\sum_i x_i ] =x_j

と似ています。積が交換子になるんだなぁ(´・ω・`)

交換子は双線型形式ですしおすし。内積にしては1風変わってる。

未定義の行列の積が作用素との対応で定義出来ないかなぁなんて思う。