2017-12-27

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f:id:AkaGhef:20171228174449j:image

2017-12-24

d/dx ! 1/x 未解決

こんちは〜

赤げふです〜

進展途中です。どうしてもここからが分からないので置いときます。

ノルム $\displaystyle N(\alpha )=\sum_{k=2}^{\infty } k\alpha_{k}$ と

多重指数 $\alpha$ ( $\alpha_{k} \in \mathbb{N}_{0} (k\in \mathbb{N}_{\geq 2})$ 、 $\alpha_{1}=N(\alpha )$ )と

多重指数 $\phi$ ( $\phi_{1}=\dfrac{1}{1-x+\gamma}$ 、 $\phi_{n \neq 1}=\zeta (n)$ )で

$\displaystyle \dfrac{d}{dx}! \dfrac{1}{1-x}=\sum_{\alpha } \phi^{\alpha}$

と書けます。

2017-12-18

x!の発散乗積表示(証明っぽいのあるけど確証なし)

注意この記事は信頼性に欠けます

オカシイです

$\displaystyle \varphi (x)=\prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{1+\frac{x}{n}}$

という奴と睨めっこしますよ〜(　＾ $\omega$ ＾)

$\varphi$ は $x=0$ を除いて常に発散します。

$\displaystyle \varphi (x)=\prod_{k=1}^{\infty } \dfrac{x+k}{k}$

と変形して、望遠鏡積(って言うのか分からないけども)から、

発散することは明らかですね(｀・ $\forall$ ・)ﾉｲｪ-ｲ！

でも実は

＿人人人人＿

＞ $\varphi (x)=x!$ ＜

￣Y^Y^Y^Y￣

と思うんです!!( $\zeta (1)=\gamma$ と仮定するならば)

$\displaystyle \dfrac{1}{\Gamma (x)}=xe^{\gamma x} \prod_{k=1}^{\infty }\dfrac{1+\frac{x}{k}}{e^{\frac{x}{k}}}$

という公式が世にはあります(´・ $\omega$ ・｀)変形し、

$e^{\gamma x}x!=\dfrac{\exp (x\zeta (1))}{\prod_{k=1}^{\infty } (1+\frac{x}{k})}$

ここで $\zeta (1)=\gamma$ をつかい

$\displaystyle x!=\prod_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{k}}$

と示されました(・ $\nabla$ ・ )

ヒューリスティクス的には、 $0!$ は自明に $\varphi (0)=1$

となりますし、xが負整数ならば部分積の段階で $\infty$ が出てくる様子は $x!$ そのものであります。

形上、ゼータとガンマが友達っぽいのが掴めます

ガンマ関数の逆数の公式ですが、あれにはこの $\varphi$ に収束因子

$e^{\gamma x}=\prod_{k=1}^{\infty} e^{\dfrac{x}{k}}$

が掛けられると解釈できます。収束因子が発散してるのも変ですが

今日の発見です。ありがとうございました〜(｡･ $\omega$ ･)ﾉﾞ

2017-12-17

未解決問題

$\displaystyle N\in \mathbb{N}, \sum_{\frac{\sum ka_{k}=N}{k,a_{k} \in \mathbb{N}}} \prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{a_{n}}a_{n}!}=1$

証明求む

2017-12-17

Γのn階微分の1

おはっよー赤げふですっ(*･ω･)*_ _)

$\Gamma^{(n)} (1)$ の表示が出来ました!!分割数が出てきますよ〜

$\zeta (1)=\gamma$ と置くと物凄く都合いいのでここだけそうします。

$\displaystyle \Gamma^{(n)} (1)=n!\sum_{\frac{\sum ka_{k}=n}{k,a_{k} \in \mathbb{N}}} \prod_{m=1}^{\infty } \dfrac{\zeta (m)^{a_{m}}}{m^{a_{m}}a_{m}!} (-1)^{ma_{m}}$

です。和の取り方が分割数なんですね〜。

2017-12-10

ヘロンの公式これなら導ける?!

え?って感じでヘロンの公式出して見ようと思います。a,b,cが3辺の長さと思ってください。初っ端ワケワカメですが、

$a+b+c=0$

$a+b=-c$

両辺２乗して

$a^{2}+b^{2}-c^{2}=-2ab$

両辺２乗して

$a^{4}+b^{4}+c^{4}-2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2c^{2}a^{2}=0$

両辺-1/16倍して√付けて中身を因数分解すれば左辺がヘロンの公式になっています!!

まぁもっとも因数分解しなくても公式としても機能しますが。

この原理がなんなのか知りたいです!!

2017-12-06

真偽問う!!

(*´・ω・)ﾉこんばんわぁ

Wikipediaサーフィンしてるとこんなの見つけました

$1-1+2-6+24-...=0.596347362323194074341...$

どうみてもおかしいので解析接続の賜物なんでしょう(´・ω・｀)

カラクリは至って単純です。x!をまずEulerによる積分表示に書き換えます。

$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} k!$

$=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \int_{0}^{\infty} t^{k}e^{-t} dt$

$=\int_{0}^{\infty} \bigg ( \sum_{k=0}^{\infty} (-t)^{k} \bigg )e^{-t} dt$

$=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-t}}{1+t} dt$ ...(A)

$=0.596347362323194074341...$

さてここからが私が問いたい事です。

自然数の階乗の総和は0.6971794...か?

先程の数式は $(-1)^{k}$ を抜かして書き換えれば(A)は

$=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-t}}{1-t} dt$

となり、計算方法としては

$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \bigg ( \int_{0}^{1-\epsilon } +\int_{1+\epsilon}^{\infty} \bigg ) \dfrac{e^{-t}}{1-t} dt$

従って

$\sum_{k=0}^{\infty} k! =0.6971748832350660687655...$

と計算されます。

これはナンセンスなのでしょうか??

赤げふの数学

数学･物理･微分の大学2年生赤げふのBLOG

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