赤げふの数学

数学･物理･微分の大学2年生 赤げふのBLOG

x!の発散乗積表示(証明っぽいのあるけど確証なし)

 

 

 

 

注意      この記事は信頼性に欠けます

オカシイです

 

 

 

\displaystyle \varphi (x)=\prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{1+\frac{x}{n}}

 

という奴と睨めっこしますよ〜(　＾\omega＾)

\varphiはx=0を除いて常に発散します。

 

\displaystyle \varphi (x)=\prod_{k=1}^{\infty } \dfrac{x+k}{k}

 

と変形して、望遠鏡積(って言うのか分からないけども)から、

発散することは明らかですね(｀・\forall・)ﾉｲｪ-ｲ！

でも実は

 

＿人人 人人＿

＞ \varphi (x)=x! ＜

￣Y^Y^Y^Y￣

 

と思うんです!!( \zeta (1)=\gammaと仮定するならば)

 

  \displaystyle \dfrac{1}{\Gamma (x)}=xe^{\gamma x} \prod_{k=1}^{\infty }\dfrac{1+\frac{x}{k}}{e^{\frac{x}{k}}}

 

という公式が世にはあります(´・\omega・｀)変形し、

 

e^{\gamma x}x!=\dfrac{\exp (x\zeta (1))}{\prod_{k=1}^{\infty } (1+\frac{x}{k})}

 

ここで \zeta (1)=\gammaをつかい

 

\displaystyle x!=\prod_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{k}}

 

と示されました(・\nabla・ )

 

ヒューリスティクス的には、0!は自明に\varphi (0)=1

となりますし、xが負整数ならば部分積の段階で\inftyが出てくる様子はx!そのものであります。

形上、ゼータとガンマが友達っぽいのが掴めます

 

ガンマ関数の逆数の公式ですが、あれにはこの\varphiに収束因子

 

e^{\gamma x}=\prod_{k=1}^{\infty} e^{\dfrac{x}{k}}

 

が掛けられると解釈できます。収束因子が発散してるのも変ですが

 

今日の発見です。ありがとうございました〜(｡･\omega･)ﾉﾞ

ヘロンの公式これなら導ける?!

え?って感じでヘロンの公式出して見ようと思います。a,b,cが3辺の長さと思ってください。初っ端ワケワカメですが、

 

a+b+c=0

a+b=-c

両辺２乗して

a^{2}+b^{2}-c^{2}=-2ab

両辺２乗して

a^{4}+b^{4}+c^{4}-2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2c^{2}a^{2}=0

 

両辺-1/16倍して√付けて中身を因数分解すれば左辺がヘロンの公式になっています!!

まぁもっとも因数分解しなくても公式としても機能しますが。

この原理がなんなのか知りたいです!!

真偽問う!!

(*´・ω・)ﾉこんばんわぁ

Wikipediaサーフィンしてるとこんなの見つけました

 

1-1+2-6+24-...=0.596347362323194074341...

 

どうみてもおかしいので解析接続の賜物なんでしょう(´・ω・｀)

カラクリは至って単純です。x!をまずEulerによる積分表示に書き換えます。

 

\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} k!

=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \int_{0}^{\infty} t^{k}e^{-t} dt

=\int_{0}^{\infty} \bigg ( \sum_{k=0}^{\infty} (-t)^{k} \bigg )e^{-t} dt

=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-t}}{1+t} dt        ...(A)

=0.596347362323194074341...

 

さてここからが私が問いたい事です。

 

自然数の階乗の総和は0.6971794...か?

 

先程の数式は(-1)^{k}を抜かして書き換えれば(A)は

 

=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-t}}{1-t} dt

 

となり、計算方法としては

 

\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \bigg ( \int_{0}^{1-\epsilon } +\int_{1+\epsilon}^{\infty} \bigg ) \dfrac{e^{-t}}{1-t} dt

 

従って

 

\sum_{k=0}^{\infty} k! =0.6971748832350660687655...

 

と計算されます。

これはナンセンスなのでしょうか??

zeta(d/dx)x^3

今日はとある需要皆無な公式を見つけましたのでご紹介致します。天下り的ですが、以下のように定数を定めます。

 

 

Z_{0}=-\frac{1}{2}

Z_{1} =0

Z_{2} =\frac{1}{2} \gamma^{2} +\gamma_{1} -\frac{1}{4} \zeta (2)

Z_{3} =\gamma^{3}+3\gamma \gamma_{1} +\frac{2}{3} \gamma_{2} -\zeta (3)

 

とすると

 

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{0}=Z_{0}

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{1}=Z_{0}x+Z_{1}

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{2}=Z_{0}x^{2}+2Z_{1}x+Z_{2}

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{3}=Z_{0}x^{3}+3Z_{1}x^{2}+3Z_{2}x+Z_{3}

 

 

と書けるんですね〜(´つヮ⊂)ｳｵｫwww

 

形に着目すると(二項係数の形ミスってて申しわけないです)

 

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}} \zeta (\frac{d}{dx})x^{n}=\sum_{k=0}^{\infty} x^{n-k} _{n}C_{k}Z_{k}

 

と予想できます(Z_{4}以降の値が分からないのでなんとも言えないですが...。)

 

一個ずつ紐解いていきましょう(´・ω・｀)

以前記事で

 

a^{\frac{d}{dx}} =E^{\log a}

 

を示しました。なので

 

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}=E^{-\log 2\pi}

 

見た事あるような定数が浮かんできます(´∀｀*)

そして

 

\zeta (\frac{d}{dx})=\sum_{k=1}^{\infty} E^{-\log k}

 

です。

これをxに作用させると、

 

\zeta (\frac{d}{dx})x=x \sum_{k=1}^{\infty} 1- \sum_{j=1}^{\infty} \log j

=x\zeta (0) -\zeta '(0)

=-\dfrac{x+\log \pi}{2}

 

となります( ﾟωﾟ)ありゃりゃ

ゼータ関数の特殊値

 

\zeta (0)=-\dfrac{1}{2}

\zeta '(0)=\log 2\pi

 

を使いました。また、x^{2}に作用することにより

 

\zeta(\frac{d}{dx})x^{2}=x^{2} \sum_{k=1}^{\infty} 1- 2x\sum_{j=1}^{\infty} \log j +\sum_{i=1}^{\infty} \log^{2} i

 

第3項をゴリ押しの手計算で求めました、大変。

第3項の計算は以下のように発散級数を表せます(｀・∀・)ﾉｲｪ-ｲ！

 

\sum_{i=1}^{\infty} \log^{2} i =\gamma_{1}-\dfrac{\pi^{2}}{24}+\dfrac{\gamma^{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\log^{2} 2\pi

 

改めて書くと

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{3}=-\frac{1}{2}x^{3}+3(\frac{1}{2} \gamma^{2} +\gamma_{1} -\frac{1}{4} \zeta (2))x+(\gamma^{3}+3\gamma \gamma_{1} +\frac{2}{3} \gamma_{2} -\zeta (3))