モジュラー形式の作用素的な特徴付け

 一般次元Hankel変換の作用素的表現を見ていたらモジュラー形式と全く同じ構造が仕組まれていることに気づきましたので、まとめてみました

\begin{align}\gamma=\left(\begin{array} aa&b\\
c&d\end{array}\right) \in PSL_2 \mathbb{C},\partial=\dfrac{\partial}{\partial x}\end{align}とする。このとき \begin{align}A_k (\gamma^{-1})･f(x)&:=e^{-\frac{c}{d}(x^2\partial +kx)}d^{-2x\partial -k}e^{-\frac{b}{d}\partial}･f(x)\\
&=(cx+d)^{-k} f\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)\end{align} が成立する。よく知られたように、実際計算してみるとは群作用を与える(作用素的には非自明):

としたとき

\begin{align}A_k(\gamma_1)A_k(\gamma_2)=A_k(\gamma_1 \gamma_2)\end{align}

\begin{align}A_k(\gamma^{-1})=A_k(\gamma)^{-1}\end{align}

\begin{align}A_k(1_2)=1\end{align}

が成り立ち、また、離散部分群 \begin{align}\Gamma_0(N)=\{\gamma\in PSL_2\mathbb{Z};c\equiv 0 \ \ (mod\ N)\}\end{align} に対して、レベル、重さ、のDirichlet指標を保型因子につけたモジュラー形式とは、上半平面>上で正則かつで正則な次の微分方程式の正則関数解である。 \begin{align}\bigcap_{\gamma \in \Gamma_0 (N)}ker(A_k(\gamma)-d^{-\chi})\end{align}

次の乗算作用素

\begin{align}J(\gamma^{-1})･f(x):=\dfrac{1}{cx+d} f(x)\end{align}

は保型因子の作用素である:

\begin{align}A_k(\gamma)=J(\gamma)^{k} A_0(\gamma)\end{align}

は特にMöbius変換作用素として知られている。保型因子の積の公式として

\begin{align}J(\gamma_1 \gamma_2)=J(\gamma_1)A_0 (\gamma_1)J(\gamma_2)A_0(\gamma_1)^{-1}\end{align}

が成立する(から定義してるので通常の関数jと少し流儀が異なるので注意)

また微分形式に対して平行移動とチェインルールから

\begin{align}A_0(\gamma)･\delta x=\delta \dfrac{ax+b}{cx+d}=\delta\dfrac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}=\dfrac{1}{(cx+d)^{2}}\delta x\end{align}

という変換を受けるので次元体積要素の変換は

\begin{align}A_0(\gamma)･g(x)\delta x^{m}=\dfrac{\delta x^{m}}{(cx+d)^{2m}}A_0(\gamma)･g(x)=(A_{2m}(\gamma)･g(x))\delta x^{m}\end{align}

となり重さは次元と関係が深いことが分かりました。