赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

半階微分の公式☆

こんにちは、赤げふです

 

websiteで次のlemmaを見た

D=\frac{d}{dx}(微分作用素)と定義する。{}^{\infty}C級関数fについて

 \displaystyle \sqrt{D} f(x)=\dfrac{f(0)}{\sqrt{\pi x}} +\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} \dfrac{f^{(1)} (t)dt}{\sqrt{x-t}}

 \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{D}} f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} \dfrac{f(t)dt}{\sqrt{x-t}}

証明は添えられていなかったですが頑張って証明できたので載っけます。

後者は「半階積分」とも言えますが始点終点の引数がないため所謂積分とも違い、半階微分の逆写像として定義されます。

n階微分の一般化は様々ですが、今回は基底\{x^{0} ,x^{1} ,x^{2} ,...\}の左作用で半階微分を規定しましょぅ。

任意の自然数n,mについてD^{n} x^{m}=\dfrac{m!}{(m-n)!} x^{m-n}である事は容易に確かめられると思います。これを拡張子、非負実数r,sについてD^{r} x^{s}=\dfrac{\Gamma (s+1)}{\Gamma (s-r+1)} x^{s-r}(\Gammaはガンマ関数)

すると非負整数nについてD^{-\frac{1}{2}} x^{n}=\dfrac{n!}{\Gamma(n+\frac{3}{2})} x^{n+\frac{1}{2}} 

...(1)です。一方天下りですがfollowing integralationをconsiderします

\displaystyle I_{n} :=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} t dt

 \displaystyle I_{n}=[-\sin t \cos^{2n} t]_{0}^{\frac{\pi}{2}} +2n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-1} t (1-\sin^{2} t) dt

よってfollowing recursionをget

I_n =\dfrac{n}{n+\frac{1}{2}} I_{n-1},I_0 =1

故に一般項はI_n=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\dfrac{n!}{\Gamma (n+\frac{3}{2})}です。

ここで\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}を用いました。(1)より

\displaystyle D^{-\frac{1}{2}} x^{n}=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}x^{n+\frac{1}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} t dt

 \displaystyle =\dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \dfrac{t^{n} dt}{\sqrt{x-t}}

となります。最後の等号はt\leftarrow x \sin^{2} tを用いました。

よってfを冪級数展開して、任意のx^{n}の係数について線型性で成り立つので証明完了です。ε=( ̄。 ̄;)フゥ

作用素の定理ですので色々なcorollaryが得られそうです。