友人のための講義。 - 赤げふの数学

高校数学前提にし、ざっくり説明。まず

$f:A\longrightarrow B:a\longmapsto b$ の意味から。

写像は与えられた集合Aの元を変換し、ある集合Bに移し変える事です。この元を変換する関数をfと言います。今言ったことを数式化すると

$f:A\longrightarrow B$

$a \in A,b\in B$ となっているa,b(代表元という)のfによる変換の様子を具体的に書く時は" $\longmapsto$ "という記号を使って

$f:a\longmapsto b$

と書きます。これらを混ぜます。「fが集合AからBに元を変換する、例として集合Aの元aを集合Bの元bに変換する。」を

$f:A\longrightarrow B:a\longmapsto b$

と書きます

最後になりましたが、必ず、fはAの元aに対しBの元bを1つ対応せねばなりません。2次関数とかもそうです。

一般論だけだと腐るので例。

二次関数 $g(x)=2x^{2}$ は実数を実数に移し変えます。例えば $f(\sqrt{2})=4$ です。

よって

$f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} :x\longmapsto 2x^{2}$

と書かれます。

もう一つ。

記事で $E^{1}$ という記号が出た。

あれはf(x)をf(x+1)と変換((平行移動)する演算子である。なので

$E^{1}:f(x)\longmapsto f(x+1)$

とかかれる