D^(2)型Affine Geometric Crystal

こんにちはヽ(^0^)ノ

アフィン型幾何結晶(geometric crystal)のこの論文を読んでいたら、微分作用素表示が出せそうと思ったので計算したら公式を発見･導出できたので紹介します。今回は $D_{n+1}^{(2)}$ 型です。

論文にある写像 $e$ は幾何結晶として要請からリー群の作用とみなせてパラメータ微分の計算をタラタラすると得られました。derivative representationと言う名前を見かけたので使っていますが、この対象を微分作用素の環の元として表示するモチベはあまり無いっぽいですね(?)

\begin{align}e_0=\dfrac{x_0^2-x_1y_1}{x_0^2+x_1y_1}x_0 \dfrac{\partial}{\partial x_0} -\dfrac{2x_1y_1}{x_0^2+x_1y_1}\left(x_n \dfrac{\partial}{\partial x_n}+\sum_{k=1}^{n-1}x_k\dfrac{\partial}{\partial x_k}+y_k\dfrac{\partial}{\partial y_k}\right)\end{align}

\begin{align}e_i=\dfrac{y_i}{x_iy_i+x_{i+1}y_{i+1}}\left(x_i^2\dfrac{\partial}{\partial x_i}+x_{i+1}y_{i+1}\dfrac{\partial}{\partial y_i}\right)\ \ \ \ (1≦i≦n-2)\end{align}

\begin{align}e_{n-1}=\dfrac{y_{n-1}}{x_{n-1}y_{n-1}+x_n^2}\left(x_{n-1}^2\dfrac{\partial}{\partial x_{n-1}}+x_n^2\dfrac{\partial}{\partial y_{n-1}}\right)\end{align}

\begin{align}e_n=x_n\dfrac{\partial}{\partial x_n}\end{align}

$D^{(2)}_{n+1}$ 型Cartan行列 $(a_{ij})$

\begin{align}a_{ij}=2\ \ \ i=j\end{align}

\begin{align}a_{ij}= -2 \ \ \ (i,j)=(0,1),(n,n-1)\end{align}

\begin{align}a_{ij}=-1 \ \ \ |i-j|=1かつ(i,j)≠(0,1),(n,n-1)\end{align}

\begin{align}a_{ij}=0\ \ \ \rm{otherwise} \end{align}

このとき次のVerma関係式が成立する $(c,d∈ℂ^×)$

\begin{align}a_{ij}=0⇒c^{e_i}d^{e_j}=d^{e_j}c^{e_i}\end{align}

\begin{align}a_{ij}=-1⇒c^{e_i}(cd)^{e_j}d^{e_i}=d^{e_j}(cd)^{e_i}c^{e_j}\end{align}

\begin{align}a_{ij}=-2⇒c^{e_i} (c^2d)^{e_j} (cd)^{e_i} d^{e_j}=d^{e_j} (cd)^{e_i} (c^2d)^{e_j} c^{e_i}\end{align}

次の等式も要請されます $(m=0,1,\ldots,n)$

\begin{align}c^{e_m}d^{e_m}=(cd)^{e_m}\end{align}

$c^{e_i}$ の作用は以下の通りです。

$f=f\dbinom{x_0,x_1,x_2\ldots ,x_{n-1},x_n}{y_1,y_2,\ldots y_{n-1}}$ 、 $T_0=\dfrac{c^2x_0^2+x_1y_1}{c^2(x_0^2+x_1y_1)}$ 、 $T_i=\dfrac{cx_iy_i+x_{i+1}y_{i+1}}{x_iy_i+x_{i+1}y_{i+1}}(i≠0,n-1,n)$ 、 $T_{n-1}=\dfrac{cx_{n-1}y_{n-1}+x_{n}^2}{x_{n-1}y_{n-1}+x_n^2}$