赤げふの数学

数学・物理・微分の高校生 赤げふのBLOG

Kac-Moody代数の疑問

こんにちは

 

自分でもまだ整理が済んでない部分がありますが、自分の思いついた概念(多分既出)がどう出てくるのか知りたいので書きました

Kac-Moody代数:

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Weyl代数:有限N=|Λ|、ベクトル変数x=(x_λ)_{λ∈Λ}、\partial_λ =\frac{\partial}{\partial x_λ},有限次多項式p_v ∈ℂ[x|]

有限部分集合A⊂ℤ_{≧0}^N,\nabla=(\partial_λ)
(多重指数)ベクトルy=(y_λ),v=(v_λ)∈Aに対してy^v=\prod_{λ∈Λ}y_{λ}^{v_λ}
Weyl代数を以下のように表されるもの全体の集合とする:
 \displaystyle \sum_{v∈A}p_v (x)\nabla^{v}

行列単位E_{ij},交換子括弧[X,Y]=XY-YX,kronecker 's\ δ

[E_{ab},E_{cd}]=δ_{bc}E_{ad}-δ_{ad}E_{cb}が成立するが
[\partial_i ,x_j]=δ_{ij}より、E_{ij}\cong x_i ∂_jと同一視できる。すなわち
[x_a ∂_b,x_c ∂_d] =δ_{bc}x_a ∂_d-δ_{ad}x_c ∂_b
と書ける。Kac-Moody代数をの生成元がある行列と対応するが、この同一視によってWeyl代数の元にKac-Moody代数を埋め込め、どの項も∂の次数は1である。例えばC型のカルタン行列では次のようなリー同型が取れる:
\begin{align}e_k=\partial_k x_{k+1},f_k =x_k ∂_{k+1},h_k=-x_k ∂_k +x_{k+1}\partial_{k+1}(1≦k\lt N)\end{align}
\begin{align}e_N =2x_0 ∂_N - x_{N+1}∂_0,f_N=x_N ∂_0-2x_0 ∂_{N+1}\end{align}
\begin{align}h_N=-2x_N ∂_N+2x_{N+1}∂_{N+1}\end{align}
この埋め込みに関して自分で導きましたが全く情報がないので、
あれば知りたいのです。
そして本題。行列による表示だと分かりませんが、2階微分作用素への埋め込みも存在する。例えばB型のカルタン行列に対し次の同型が取れる:

\begin{align}e_k=\partial_k x_{k+1},f_k =x_k ∂_{k+1},h_k=-x_k ∂_k +x_{k+1}\partial_{k+1}(1≦k\lt N)\end{align}
\begin{align}e_N=\frac{1}{2}∂_{N}^{2},f_N=\frac{1}{2}x_N^2,h_N=x_N ∂_N+\frac{1}{2}\end{align}

(証明は忙しいので省きます...)
D型も2階の微分を使って表せます。1階の微分だと接空間として考えられますが、2階微分だと一般論はあるんでしょうか??
例外型EFGでも1階の微分では書けますが、2階微分はどうなのか1番知りたいです!