Kac-Moody代数の疑問 - 赤げふの数学

こんにちは

自分でもまだ整理が済んでない部分がありますが、自分の思いついた概念(多分既出)がどう出てくるのか知りたいので書きました

Kac-Moody代数:

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Weyl代数: $有限N=|Λ|、ベクトル変数x=(x_λ)_{λ∈Λ}、\partial_λ =\frac{\partial}{\partial x_λ},有限次多項式p_v ∈ℂ[x|$ ]

$有限部分集合A⊂ℤ_{≧0}^N,\nabla=(\partial_λ)$
$(多重指数)ベクトルy=(y_λ),v=(v_λ)∈Aに対してy^v=\prod_{λ∈Λ}y_{λ}^{v_λ}$
Weyl代数を以下のように表されるもの全体の集合とする:
$\displaystyle \sum_{v∈A}p_v (x)\nabla^{v}$

$行列単位E_{ij},交換子括弧[X,Y]=XY-YX,kronecker 's\ δ$

$[E_{ab},E_{cd}]=δ_{bc}E_{ad}-δ_{ad}E_{cb}$ が成立するが
$[\partial_i ,x_j]=δ_{ij}$ より、 $E_{ij}\cong x_i ∂_j$ と同一視できる。すなわち
$[x_a ∂_b,x_c ∂_d] =δ_{bc}x_a ∂_d-δ_{ad}x_c ∂_b$
と書ける。Kac-Moody代数をの生成元がある行列と対応するが、この同一視によってWeyl代数の元にKac-Moody代数を埋め込め、どの項も $∂$ の次数は1である。例えばA型では次のようなリー同型が取れる:
\begin{align}e_k =x_k∂_{k+1},f_k=x_{k+1}∂_k\end{align}\begin{align}h_k=x_k∂_k- x_{k+1}∂_{k+1}\end{align}
この埋め込みに関して全く情報がないので、
あれば知りたいのです。
そして本題。行列による表示だと分かりませんが、2階微分作用素への埋め込みも存在する。例えばB型のカルタン行列に対し次の同型が取れる:

\begin{align}e_k=\partial_k x_{k+1},f_k =x_k ∂_{k+1},h_k=-x_k ∂_k +x_{k+1}\partial_{k+1}(1≦k\lt N)\end{align}
\begin{align}e_N=\frac{1}{2}∂_{N}^{2},f_N=\frac{1}{2}x_N^2,h_N=x_N ∂_N+\frac{1}{2}\end{align}