交換子の公式の準備 - 赤げふの数学

こんにちはー(｀･ω･)b

Fractional Fourier Transform(FrFT,分数階フーリエ変換)の微分作用素の表示

(りんく)

の下準備としてこの記事を書きます。

微分作用素の交換子の計算をLie括弧積をつかって色々やります

微分作用素とは、正則関数間の変換を与える線形作用素で、

形式的冪級数 $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} f_k (x-a)^{k}$ を

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)f_{k+1} (x-a)^{k}$ に変換する

ものである。冪級数の係数のみを取り出し $(f_0 ,f_1 , \cdots )^{t}$ のように

表すと無限次元複素ベクトル空間の元と対応するが、微分作用によって

$(f_1 ,2f_2 ,\cdots )^{t}$ と変化するので微分作用素 $\dfrac{d}{dx}$ は

行列 $(l\delta_{k,l-1})_{k,l\in \mathbb{N_{0}}}$ という無限次元行列と見なせる。

この行列を介して微分作用素の指数関数を自然に導入できる。

幾つかは既に記事としてあります。

(クソ古い記事)

akaghef.hateblo.jp

Lie括弧積の計算についてみていきましょ〜

[定義] 次を満たす線型空間上の双線型形式 $[ー,ー]$ をLie括弧積と言う。

$[ X,Y] =-[ Y,X]$

$[X,[ Y,Z ] ] +[ Y,[ Z,X ] ]+[ Z ,[X,Y] ] =0$ (Jacobi恒等式)

複素数の形式的冪級数環 $A=\mathbb{C} [ [ x] ]$ は線型空間で、そこに微分作用素 $\mathcal{D}=d/dx$ を付加えて交換子 $[X,Y] =XY-YX$ を計算できる。

交換子の公式についてはここを参照してください〜

physnotes.jp

以後使う公式はここから出します。

$ad(X)･Y=ad_X(Y)=[ X,Y ]$ 、 $Ad(X)･Y=Ad_X(Y)=XYX^{-1}$ と書く。

混乱の無いよう $a,b$ はスカラーでどの元とも可換に計算できる、 $f,g$ は関数と定めておく。

記法上の注意だが、 $\mathcal{D}f(x)$ と $\mathcal{D}･f(x)$ をドット積" $･$ "で厳密に区別する。

前者は作用素で、関数 $g(x)$ に作用させると

$(\mathcal{D}f(x))･g(x)=\mathcal{D}･(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

と計算される。後者はただの微分 $\mathcal{D}･f(x)=f'(x)$ である。

関数値やスカラーのドット積はその値をそのまま掛けると定める $f(x)･g(x)=f(x)g(x)$

微分はLeibniz則に従うので $\mathcal{D}･(f(x)g(x))=f(x)\mathcal{D}･g(x)+(\mathcal{D}･f(x))･g(x)$ となるが

$(\mathcal{D}f(x)-f(x)\mathcal{D})･g(x)=f'(x)･g(x)$

より作用に関して $[ \mathcal{D},f(x) ] =f'(x)$ が成立。

特に $f(x)=x$ として

[1] $[\mathcal{D},x]=1$

を導く。、量子力学では、正準交換関係(CCR)の数式として登場する。次 $\mathcal{D}$ の指数関数は量子力学の平行移動の演算子として登場する。

[2] $e^{a\mathcal{D}}･g(x)=g(x+a)$

同様に変数変換してやると、並進演算子

[3] $a^{x\mathcal{D}} ･g(x)=g(ax)$

が出る。q-derivativeと差分が、Lie環･群の対応のように結びつく。

[1]より特に $[\mathcal{D},[\mathcal{D},x]]=[x,[\mathcal{D},x]]=0$ であるので

[参照]より $e^{ax+b\mathcal{D}}=e^{\frac{1}{2}ab}e^{ax}e^{b\mathcal{D}}$

と計算できる。

$x\mathcal{D}$ は $Euler作用素$ などと呼ばれるが、 $x=e^{t}$ と変数変換してやれば $x\mathcal{D}=\frac{d}{dt}$ である。またJordan積は $A\circ B=\frac{AB+BA}{2}$ という記法もあり、 $x\circ \mathcal{D}=x\mathcal{D}+\frac{1}{2}$ は対称性を重視する際よく出てくる。

ここまで $xと\mathcal{D}$ の複合された数式を幾つか見ましたが、一般の等号の成立の条件を実はよく理解していません。というのは $\mathcal{D}$ は元々は無限次元の作用素であり有界でないので、Hillbert空間の論法も通じず、非可換なので行列式等も複雑になる代数なので、一般の性質を探るのは専門家以外無理なんじゃないでしょうか(もし扱ってる書籍あれば知りたい)

とはいえ、Segal-Shale-Weil表現のような良い構造を持つのは確かで、テストに追われてて時間ないので厳密な構成については省き、今の所病的でない素性の良いものだけを取り扱います。

線形代数の教科書を参照する。(有限次元に関するものだが)

一般に作用素 $\mathcal{T}$ の固有値 $\lambda$ に対応する固有関数 $f$ について、

作用素 $\mathcal{T}$ を行列として表し $\det T$ と $\lambda$ の2つがともに冪級数 $P$ の収束円内に入るなら、 $P(T)･f=P(\lambda)f$ と計算される。

形式的には $\displaystyle \sum_n a_n x^{n}$ と冪級数展開された関数を $\sum_n a_n P(n)x^{n}$ に変換したいとき、作用素 $x\mathcal{D}$ の固有値 $m$ に対応する固有関数は $kx^m(k\in \mathbb{C})$ となることから、変換を与える作用素は $P(x\mathcal{D})$ と分かる。

$\dfrac{1}{x}$ は形式的冪級数の次数を $1$ 下げる作用素として機能するので、 $\mathcal{[[ \dfrac{1}{x}]]}$ を作用素の因子に含んでいても問題ない。しかし

$\mathcal{D}^{-1}$ については解析的に全て都合よく表すことは出来ないため、

擬微分作用素として代数的に扱うことが望ましい。

非整数階数の微分を考えることがRiemann-Liouville作用素として積分変換の形で導入されている

$\mathcal{D}^{-\alpha}:g(x)\rightarrow \dfrac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{x} (x-t)^{\alpha}g(t)\dfrac{dt}{t}$

これは加法性、つまり $\mathcal{D}^{-\alpha}\mathcal{D}^{-\beta}=\mathcal{D}^{-(\alpha+\beta)}$ を満たす。

微分環がLie環と強く関連することを述べる。

$(F,\partial)$ を微分環とすると $F\partial$ はLie環である。これはLeibnitz則を使うと $f\partial,g\partial,h\partial \in F\partial$ について

$[f\partial,g\partial] =f\partial g\partial-fg\partial^2+gf\partial^2-g\partial f\partial$

$=f(\partial g-g\partial)\partial-g(\partial f-f\partial )\partial=(fg'-f'g)\partial$

$[[f\partial,g\partial] ,h\partial ]=[(fg'-f'g)\partial ,h\partial]=((fg'-f'g)h'-(fg''-f''g)h)\partial$

を巡回的に足しあげると

$[[f\partial,g\partial] ,h\partial ] +[[g\partial,h\partial] ,f\partial ] +[[h\partial,f\partial] ,g\partial ] =0$

をみたすのでJacobi恒等式が満たされるので $F\partial$ はLie環である。

$[\partial ,f]=f'$ として数体 $K$ から関数の集合 $F$ をつくり、微分環 $(F,\partial)$ からLie環 $K\partial\oplus F$ を組み上げる事も出来て、

$[[\partial,f],g]=[[f,g],\partial]=[[g,\partial ]f]=0$

より結合的なLie括弧積が出来上がる。

雑多な内容になりましたが、続く記事の準備としたいと思います。

多分あとから更新して内容加えていくと思います。

では(^^)/