実数階フーリエ変換 - 赤げふの数学

こんばんは( *・ω・)ノ久しい更新です

先日、60ページくらいある進捗の数式全部書いたノート失くして心が枯れてます^^;

進捗を公開して、モチベ上げようと思います。

Fourier変換の微分作用素と諸公式の証明を目標に頑張ります(｀・ω・´)ゞ

では開始。今回、Fourier変換 $\mathcal{F}$ の流儀は

$\displaystyle \hat{g} (x)=\mathcal{F}･g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ixt} g(t)\ dt$

と定める。逆変換は

$\hat{g} (-x)=\displaystyle \mathcal{F}^{-1}･g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty} e^{ixt} g(t)\ dt$

である。 $\mathcal{F}$ の作用には周期性があり

$\mathcal{F}^{2} ･g(x)=g(-x)$ 、 $\mathcal{F}^{4}･g(x)=g(x)$ 、 $\mathcal{F}^{4}=1$

となる。(後方2つは同じ意味)

実は今後見ていくように $\mathcal{F}$ は虚数単位 $i$ と同様の構造を持つ事が解析的にも表現論的にも判明します!! 本記事では $\mathcal{F}$ の $\mathbb{Z}$ 回作用を $\mathbb{R}$ 回まで拡張したものをwikiで見て、証明を自分で考えてみたので、載せようと思います。

[主定理] 以下がFourier変換の実数階作用を与える

$\displaystyle \mathcal{F}_{\theta} ･g(x)=\sqrt{\frac{1-i\cot\theta}{2\pi}} e^{\frac{i}{2} x^{2}\cot \theta}\int_{\mathbb{R}} e^{\frac{i}{2} t^{2} \cot \theta-ixt\csc \theta} g(t) \ dt$

$\int_{\mathbb{R}}$ は区間 $-\infty \rightarrow \infty$ , $\infty \rightarrow -\infty$ 両方の積分を考えていて、Fourier変換作用自体の持つ2価な性質を反映している。因子の $\sqrt{\ }$ の持つ代数分岐が原因だが、計算の都合上、積分区間 $-\infty \rightarrow \infty$ 、 $\sqrt{\ }$ の値域は偏角 $(-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2})$ で定めて置くことにする。

Fourier変換の拡張は幾らでも人為的に作れますが、後々見る微分作用素による表現論的解釈を考えると極めて自然な定義と唸るでしょう。以下特徴付け

[命題]

(i)特殊ケース $\mathcal{F}_0 =1,\mathcal{F}_{\frac{\pi}{2}}=\mathcal{F}$

(ii)基本周期 $2\pi$ $\mathcal{F}_{2\pi+\theta}=\mathcal{F}_{\theta}$

(iii)加法性 $\mathcal{F}_{\alpha} \mathcal{F}_{\beta} = \mathcal{F}_{\alpha +\beta}$

[証明]

[補題]Gauss積分 $z\in \mathbb{C},a\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}_{0-}$

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(t-z)^{2}}\ dt=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$

(i) $\mathcal{F}_0$ は発散してるので極限値で与える。

$\displaystyle \mathcal{F}_0 ･g(x)$

$\displaystyle = \lim_{\alpha \rightarrow 0}\sqrt{\frac{1-i\cot \alpha}{2\pi }} e^{\frac{i}{2} x^{2}\cot \alpha}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2}t^{2} \cot \alpha -ixt \csc \alpha} g(t)\ dt$

$\displaystyle = \lim_{\alpha \rightarrow 0}\sqrt{\frac{1-i\cot \alpha}{2\pi}} e^{\frac{i}{2} x^{2}\cot \alpha-\frac{i}{2} x^{2} \csc \alpha \sec\alpha}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2} \cot \alpha (t-x \sec \alpha)^{2}} g(t)\ dt$

$\displaystyle = \lim_{k \rightarrow +\infty}\sqrt{\frac{1-ik(1+O(k^{-2}))}{2\pi}} e^{\frac{i}{4} x^{2}\frac{1}{k}(1+O(k^{-2}))} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{ik}{2}(1+O(k^{-2}) (t-x+O(k^{-2}))^{2}}g(t)dt$

$\displaystyle = \lim_{k \rightarrow +\infty}\sqrt{\frac{1-ik}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2} t^{2}}g(\frac{t}{\sqrt{k}}+x)d\dfrac{1}{\sqrt{k}}t$

$\displaystyle =\sqrt{\dfrac{-i}{2\pi}}\sqrt{\dfrac{2\pi}{-i}} g(x)$

$=g(x)$

$\mathcal{F}_{\frac{\pi}{2}}=\mathcal{F}$ は容易に分かる。

(ii) 定数関数 $g(x)=1$ に作用させると

$\displaystyle \mathcal{F}_{\theta} ･g(x)=\sqrt{\dfrac{1-i \cot \theta}{2\pi i}} e^{\frac{i}{2} x^{2} \cot \theta}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2} t^{2} \cot \theta -ixt \csc \theta} \ dt$

$\displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i \cot \theta}{2\pi }} e^{\frac{i}{2} x^{2} \tan \theta }\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2} \cot \theta (t- x\sec \theta)^{2}} \ dt$

$\displaystyle =\sqrt{1+i \tan \theta}e^{-\frac{i}{2}x^{2} \tan \theta}$

となる。この事から $\mathcal{F}$ は $2\pi$ 未満の周期性を持たない。

また、等式から周期 $2\pi$ 、 $\mathcal{F_{\theta+2\pi}}=\mathcal{F}_{\theta}$ は容易に分かる。

(iii)本題であります。

$K_{\alpha} (x,t)=\sqrt{\dfrac{1-i\cot \alpha}{2\pi}} e^{\frac{i}{2} (x^{2}+t^{2} )\cot \alpha -ixt \csc \alpha}$ と置く。

$\displaystyle \mathcal{F}_{\alpha} \mathcal{F}_{\beta} ･g(x)$

$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} K_{\alpha} (x,u) K_{\beta } (u,v)g(v)\ du dv$

$\displaystyle \mathcal{F}_{\alpha +\beta} ･g(x)$

$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} K_{\alpha +\beta} (x,t)g(t)\ dt$

この2つから、

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} K_{\alpha} (x,u) K_{\beta} (u,t) \ du=K_{\alpha +\beta} (x,t)$

を示せば十分と分かる。

複素平面で考えれば $1-i\cot \alpha ,1-i\cot \beta ,\dfrac{i}{\cot \alpha +\cot \beta }$

は虚部が全て同符号となる事は無い。従って $\cot$ の加法定理より

$\sqrt{1-i\cot \alpha}\sqrt{1-i\cot \beta}\sqrt{\dfrac{i}{\cot \alpha +\cot \beta}i}$

$=\sqrt{\dfrac{1-i\cot\alpha- i\cot\beta -\cot \alpha \cot \beta }{\cot \alpha +\cot \beta}i}=\sqrt{1-i\cot (\alpha +\beta )}$

と計算できる。従って

$\displaystyle \int_{\mathbb{R}} K_{\alpha} (x,u) K_{\beta} (u,t) \ du$

$\displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i\cot \alpha}{2\pi}} \sqrt{\dfrac{1-i\cot \beta}{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( \dfrac{i}{2} (x^{2}+u^{2})\cot \alpha-ixu\csc \alpha \right)$

$×\exp \left(\dfrac{i}{2}(u^{2}+t^{2})\cot \alpha -iut \csc \alpha \right) du$

$\displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i\cot \alpha}{2\pi}} \sqrt{\dfrac{1-i\cot \beta}{2\pi}}\exp \left( \dfrac{i}{2} (x^{2} \cot \alpha +t^{2} \cot \alpha \right)$

$×\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( \dfrac{i}{2} u^{2}( \cot \alpha+ \cot \beta ) -iu(x\cot \alpha+t\cot \beta \right)$

$\displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i\cot \alpha}{2\pi}} \sqrt{\dfrac{1-i\cot \beta}{2\pi}}\exp \left( \dfrac{i}{2} (x^{2} \cot \alpha +t^{2} \cot \alpha ) \right)$

$\displaystyle × \exp \left(-\dfrac{i}{2} x^2 \dfrac{(x\csc \alpha +t\csc \beta )^2}{\cot \alpha +\cot \beta} \right)\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(\dfrac{i}{2} u^2 (\cot \alpha +\cot \beta ) \right) \ du$

$\displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i\cot \alpha}{2\pi}} \sqrt{\dfrac{1-i\cot \beta}{2\pi}} \sqrt{\dfrac{2\pi i}{\cot \alpha +\cot \beta }}\exp \left( -ixt\dfrac{\csc \alpha \csc \beta}{\cot \alpha +\cot \beta} \right)$

$×\exp \left(\dfrac{i}{2} x^{2} \dfrac{\cot^2 \alpha +\cot \alpha \cot \beta -\csc^2 \alpha}{\cot \alpha +\cot \beta} +t^2 \dfrac{\cot^2 \beta+\cot\alpha\cot\beta-\csc^2\beta}{\cot\alpha+\cot\beta} \right)$

$=\sqrt{\dfrac{1-i \cot (\alpha +\beta )}{2\pi}} \exp \left(\dfrac{i}{2} (x^2+t^2)\cot (\alpha+\beta)-ixt\csc(\alpha+\beta)\right)$

$K_{\alpha+\beta} (x,t)$

(i)(ii)(iii)より主定理は証明された。

Q.E.D. 証明完了!(`･ ω･´)ゞ

積分形が与えられているので1日で自力で証明出来ましたが発見するのは難しいと思います。

任意の線形作用素は、超関数も許せば2変数関数(核関数) $\Phi$ によって $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \Phi (x,t)g(t) dt$ なる形に書けることが知られています(Scwartzの定理)

分数階フーリエ変換変換はMehler核という2次の指数関数 $\Phi =K_\theta (x,t)$ を用いて解析的に良い形で書けるわけです。

具体的な関数の作用について見ていきましょう。

[例]

$e^{iax^2+ibx+ic}$ に作用させるとGauss積分より

$\mathcal{F}_{\theta} ･e^{iax^2+ibx+ic}$

$\displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i\cot \theta}{2\pi}} e^{ic+\frac{i}{2}x^2\cot\theta}\int_{-\infty}^{\infty}e^{it^2(\frac{1}{2}\cot\theta+a)-tx(\cot\theta-b)}dt$

$\displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i\cot \theta}{2\pi}}e^{-\dfrac{i}{2}\dfrac{(x\csc\theta-b)^2}{\cot\theta+2a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{it^2(\frac{1}{2}\cot\theta+a)}dt$

$=\sqrt{\dfrac{i+\cot\theta}{2a+\cot\theta}}e^{-\dfrac{ix^2}{2}\dfrac{2a\cot\theta+1}{2a+\cot\theta}}e^{i\dfrac{bx\csc\theta}{2a+\cot\theta}}e^{-\dfrac{i}{2}\dfrac{b^2}{2a+\cot\theta}+ic}$

$a=0$ の場合を足しあげて

$\mathcal{F}_{\theta} ･\cos \omega x=\sqrt{1+i\tan\theta}e^{-\dfrac{i}{2}(x^2+\omega^2)\tan\theta}\cos(\omega x\sec\theta)$

$\mathcal{F}_{\theta} ･\sin \omega x=\sqrt{1+i\tan\theta}e^{-\dfrac{i}{2}(x^2+\omega^2)\tan\theta}\sin(\omega x\sec\theta)$

などなど。性質について探って行きましょ〜(証明は楽)

[性質]

$\mathcal{F}_{\theta}･g(x)=g_{\theta} (x)$ 等と書いておきます。

･線型性

$\displaystyle \mathcal{F}_{\theta}･(a g(x)+bh(x))=ag_{\theta} (x)+bh_{\theta}(x)$

･逆変換

$\mathcal{F}_{\theta}^{-1}=\mathcal{F}_{-\theta}$

･可換

$\mathcal{F}_{\alpha}･g_{\beta}(x) =\mathcal{F}_{\beta} ･g_{\alpha} (x)$

･結合

$(\mathcal{F}_{\alpha}\mathcal{F}_{\beta})･g_{\gamma} (x)=\mathcal{F}_{\alpha}(\mathcal{F}_{\beta}\mathcal{F}_{\gamma})･g(x)$

･引数平行移動

$\mathcal{F}_{\theta}･g(x+T)=e^{\frac{i}{2}T^2\cot\theta}e^{ixT\csc\theta}g_{\theta} (x+T\cos\theta)$

･反転

$\mathcal{F}_{\theta} ･g(-x)=g_{\theta} (-x)$

･指数関数倍

$\mathcal{F}_{\theta} ･(e^{ikx}g(x))=e^{-\frac{i}{4}k^2\sin 2\theta}e^{ikx\cos\theta}g_{\theta} (x-k\sin\theta)$

･複素共役(実関数 $f$ )

$f_{\theta}^* (x)=f_{-\theta} (x)$

･Parseval等式
積分表示から、 $K_0 (x,t)=\delta (x-t)$ と書けるので
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_{\theta}^* (t)g_{\theta}(t)dt$
$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f^*(u)g(v)\int_{-\infty}^{\infty}K_{-\theta}(u,t)K_{\theta} (t,v)dtdudv$
$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} K_0 (u,v)f^*(u)g(v)dudv$
$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f^*(u)g(v)\delta(u-v)dudv$
$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} f^*(t)g(t) dt$