赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

微分方程式の研究と悪あがき

こんばんは〜(が1番確率的に多いかな?)

y'^{2} -y''y =x^{-2}

が今自分の研究の中で重要な役割を果たすんですが、

全然性質が分からないorz

ということで悪足掻きをしています。

これはテータ関数版微分という概念を定義した際のlogの対応物になります

まずフツーの\logの現象を見ていきますね。

任意のn\in \mathbb{N}に対し\frac{d}{dx}^{-1} x^{n}=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+\mathbb{C}が成立しますが、(積分定数全体が同値類の空間\mathbb{C}を張ると考えることします)

n=-1を代入すると\frac{x^{0}}{0}というワケノワカラナイ物が出来ますが、

実際は\log x+\mathbb{C}であるという事を高校で習います。

\logは性質が非常に豊潤ですが、テータ関数版微分\log(以後l関数)は

制約が厳しく、性質が限られていくことになります。

lの定義は微分方程式y'^{2} -y''y =x^{-2}の解とします。

まだ初期値は与えてない(というか関数が求まってないので決めかねる)ので自由度があります。

二階微分を含みますので、2次元の自由度があるように思っていますがどうなんでしょう。

1つ自由度は見つかってててlが定義方程式を満たすとき任意のa\in \mathbb{C}について

\left( \dfrac{d}{dx}l(ax) \right)^{2}-l(ax)\dfrac{d^{2}}{dx^{2}} l(ax)

=a^{2}(l'(ax)^{2}-l(ax)l''(ax))=a^{2}・(ax)^{-2}

=x^{-2}

ですので引数のスカラー倍はして良いことになります。

\log逆関数\expであり、微分に関して良い性質を持つのはよく知られています。

l逆関数gとしてみると最初の式から色々計算して

1+x\dfrac{g_{2}}{g_{1}}=\left( \dfrac{g_{1}}{g} \right)^{2}

とできます。ただし見やすさのためg_{1}はgの1階微分と書いてます

g=e^{h}と置くとh_{1}+x(h_2 +h_{1}^{2})=h_{1}^{3}となります。

 

導関数h_1が0ならx=0h_{2}=0程度しか分かりませんが。

 

lに話を戻すと、

l=0のときl_1 =\pm \dfrac{1}{x}が分かります

xについて同次なのでx=e^{t}と置換すれば

\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}+y\dfrac{dy}{dt} -y\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=1

さらにp=\frac{dy}{dt}とし、

p^{2}+py-py\dfrac{dp}{dy}=1であります。

x=u^{-1}とすれば

\left(\dfrac{dy}{du}\right)^{2} -2yu\dfrac{dy}{du}-u^{2}\dfrac{dy}{du}=1

u\to 0\dfrac{dy}{du}=\pm 1よりs\to \inftyy=0

つまりx=0中心の円板領域を除けばyは有界であることが分かります。

x=0での挙動が1番重要ですが、\log程度という推測しか付きません。

desmosで検証したところ\cos(\log x)が1番近い関数とわかりました。