微分方程式の研究と悪あがき
こんばんは〜(が1番確率的に多いかな?)
が今自分の研究の中で重要な役割を果たすんですが、
全然性質が分からないorz
ということで悪足掻きをしています。
これはテータ関数版微分という概念を定義した際のの対応物になります
まずフツーのの現象を見ていきますね。
任意のに対しが成立しますが、(積分定数全体が同値類の空間を張ると考えることします)
を代入するとというワケノワカラナイ物が出来ますが、
実際はであるという事を高校で習います。
は性質が非常に豊潤ですが、テータ関数版微分の(以後)は
制約が厳しく、性質が限られていくことになります。
の定義は微分方程式の解とします。
まだ初期値は与えてない(というか関数が求まってないので決めかねる)ので自由度があります。
二階微分を含みますので、2次元の自由度があるように思っていますがどうなんでしょう。
1つ自由度は見つかってててが定義方程式を満たすとき任意のについて
ですので引数のスカラー倍はして良いことになります。
の逆関数はであり、微分に関して良い性質を持つのはよく知られています。
の逆関数をとしてみると最初の式から色々計算して
とできます。ただし見やすさのためはgの1階微分と書いてます
と置くととなります。
導関数が0ならか程度しか分かりませんが。
に話を戻すと、
のときが分かります
xについて同次なのでと置換すれば
さらにとし、
であります。
とすれば
でよりで
つまり中心の円板領域を除けばyは有界であることが分かります。
での挙動が1番重要ですが、程度という推測しか付きません。
desmosで検証したところが1番近い関数とわかりました。