赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

フーリエ変換作用素を微分作用素で表現する公式!

(。・ω・)ノども〜

 

今日はフーリエ変換微分作用素から捉える事をやってみましょう。

本記事では沢山の流儀の中でフーリエ変換作用素\mathcal{F}

 \displaystyle  \mathcal{F} \ g (x):=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} g(t)e^{-ixt} dt

で定義します。今日のメインディッシュを....

定理1  Fourier Tranceform&differential operator

\mathcal{F}=\exp \left(\dfrac{i\pi}{4} \left( \dfrac{d}{dx}-x\right) \left( \dfrac{d}{dx}+x \right) \right)

全然関係ないFourier変換と微分が結びつくインパクトが強い!

定理2

\exp \left(i\pi x\dfrac{d}{dx} \right)=\exp \left(\dfrac{i\pi}{2} \left( \dfrac{d}{dx}-x\right) \left( \dfrac{d}{dx}+x \right) \right)

定理3

 \displaystyle e^{i\pi \left( \frac{d^{2}}{dx^{2}}-x^{2}\right) } =-1

Eulerの等式に引けを取らない美しい等式でめっちゃ好きです!

 

参考文献は「数学の現在 \pi 」の第1講小林俊之さんのとこですね

この本は数学の諸分野を教授が紹介する感じで、情報多くて面白いです!

今回の定理の主張自体が他の文献やネットに無いので、

今回はその部分を埋め合わせるためにこの記事を書いた次第です

少し本で見た表示と違いますが変形しています。

 

フーリエ変換は色々流儀がある為結構めんどくさい....()

それでは証明に入って行きましょう

 

色々定義。

 諸定義。

\mathcal{D}=\dfrac{d}{dx}

\mathcal{A}=x-\mathcal{D}

h_0 (x)=e^{-\frac{x^2}{2}}

\forall n\in \mathbb{N}_0 ,h_{n+1} (x)=\mathcal{A}・h_n (x)

 

フーリエ変換作用素を作用させても

関数が定数倍しか変化しない固有関数について考えてみると、

Gauss積分から\mathcal{F} ・h_0 (x)=h_0 (x)である事が導かれます。

詳しくやると、割と有名な極座標への変換のメソッドで

 

\displaystyle (\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}})^{2}

=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2} -y^{2}} dxdy

=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} re^{-r^{2}} drd\theta

=\displaystyle \pi \int_{0}^{\infty} re^{-r^{2}} dr

=\displaystyle \pi \int_{-\infty}^{0} e^{s} ds

=\pi

 

なので

 

\mathcal{F} ・h_0 (x)

=\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\frac{1}{2}t^{2} +ixt ) dt

 =\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2} x^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}(t-ix)^{2}} dt

 \displaystyle =\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{2} x^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^{2}} dt

=e^{-\frac{1}{2} x^{2}} =h_0 (x)

 

という風に示されます。いえい!!

 

更に任意の整数kについて

\mathcal{F} ・h_k (x) =(-i)^{k} h_k (x)

 が成り立ちます。これを示す為に、

\mathcal{A} と \mathcal{F}の関係を調べます

任意の可積分(絶対値の\mathbb{R}上の積分値が有限な)関数gについて 

 

 \displaystyle \mathcal{FA}・g(x)

 \displaystyle =\mathcal{F} ・(xg(x)-g'(x))

 \displaystyle =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ixt} (tg(t)-g'(t)) dt \right)

 \displaystyle =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\left( i\dfrac{d}{dx}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ixt} g(t)dt-[ e^{-ixt}g(t)]_{-\infty}^{\infty} -ix\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ixt} g(t)dt \right)

 \displaystyle =-i\left( x-\dfrac{d}{dx}\right)  × \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ixt} g(t)dt

=-i\mathcal{AF}・ g(x)

 

つまり作用素の合成として

 

\mathcal{FA}=-i\mathcal{AF}

 

なる関係が成り立ちます。よって任意の正整数nについて

 

\mathcal{F} ・h_n (x)

=\mathcal{FA}^{n} ・h_0 (x)

=-i\mathcal{AFA}^{n-1} ・h_0 (x)

\cdots

=(-i)^{n}\mathcal{A}^{n} \mathcal{F} ・h_0 (x)

=(-i)^{n} \mathcal{A}^{n} ・h_0 (x)

(-i)^{n} h_n (x)

故に\mathcal{F} ・h_n (x)= (-i)^{n} h_n (x)

 

h_nフーリエ変換の固有関数と分かりました

定義式から任意の自然数nについて

e^{\frac{1}{2} x^{2}} h_n (x)はn次多項式と分かります。

なので複素平面上のある領域でテイラー展開可能である任意の関数は\{ h_n \}_{n=0}^{\infty} を基底とした\mathbb{C}線形空間の元であるから、

 \{ h_n \}_{n=0}^{\infty} に対して作用した結果が等しいなら

基底の構造から、定理1を示せます!!

h_n\mathcal{A} とh_0 (x)から作られるので

\mathcal{A} とh_0 (x)に対する作用の結果が等しいなら、

任意の関数に対して作用した結果が等しく作用素としての等号が成り立ちます。

 

それでは後半戦。

 

以前私のブログで

 

\mathcal{D}x-x\mathcal{D}=1

 

という公式をライプニッツ則から導きました。

akaghef.hateblo.jp

 これを用いて行きます。

 

作用素A、Bに対し

交換子括弧

ad(A)・B=[A,B]=AB-BA

随伴作用

Ad(A)・B=ABA^{-1}

反交換子

\{ A,B\} =AB+BA

 

と定義するとLie群とLie環の関係を考えると

任意の\lambda \in \mathbb{C} 、作用素Aに対し

\exp (\lambda ad(A) )=Ad( \exp (\lambda A))

となります。双線型と交代性を持つ作用素なので

[\mathcal{D},x] =1を用いると、

[ \mathcal{A} (\mathcal{D}+x),\mathcal{A} ]

=\mathcal{A}[\mathcal{D}+x,\mathcal{A}]

=\mathcal{A}[\mathcal{D},x]-[x,\mathcal{D}] )

=2\mathcal{A}

となることがわかるので、

 

A=\mathcal{A}(D+x)、\lambda=-\dfrac{ i\pi}{4}を代入して\mathcal{A}に作用させると

 Ad\left( \exp \left(-\dfrac{i\pi}{4} \mathcal{A} \left( \mathcal{D}+x \right) \right) \right)・\mathcal{A}

= \exp \left(-\dfrac{i\pi}{4} ad\left( \mathcal{A} \left( \mathcal{D}+x \right) \right) \right) ・\mathcal{A}

\displaystyle =\sum^{\infty}_{n=0}  \dfrac{1}{n!} \left(-\dfrac{i\pi}{4} \right)^{n} ad\left( \mathcal{A} \left( \mathcal{D}+x \right) \right)^{n} ・\mathcal{A}

 \displaystyle =\mathcal{A}+\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \left(-\dfrac{i\pi}{4} \right)^{n-1}×\left(-\dfrac{i\pi}{2}\right) ad\left( \mathcal{A} \left( \mathcal{D}+x \right) \right)^{n-1} ・\mathcal{A}

=\cdots

 \displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!} \left(-\dfrac{i\pi}{2}\right)^{n} \mathcal{A}

 \displaystyle =-i\mathcal{A}

 

よって

 

\exp \left(-\dfrac{i\pi}{4} \mathcal{A} \left(\mathcal{D}+x \right) \right) \mathcal{A}=-i\mathcal{A}\exp \left(-\dfrac{i\pi}{4} \mathcal{A} \left( \mathcal{D}+x \right) \right)

 

となります。また、

 

(\mathcal{D}+x)h_0 (x)

=-xe^{-\frac{1}{2} x^{2}} +xe^{-\frac{1}{2} x^{2}}

=0

 

ですので

 

 \displaystyle \exp \left(-\dfrac{i\pi}{4} \mathcal{A} \left( \mathcal{D}+x \right) \right) h_0 (x)

\displaystyle =h_0 (x)+\sum_{n=1}^{\infty} \left(-\dfrac{i\pi}{4}\right)^{n}   \left( \mathcal{A} \left( \mathcal{D}+x \right) \right)^{n} h_0 (x)

 =h_0 (x)

 

よって\mathcal{A} とh_0 (x)に対して作用した結果が等しい事が分かりました!!!

これで先程言ったように任意のh_nについて作用の結果が等しく、任意の関数について作用の結果が等しいので作用素の等号が成り立ちます

これで定理1は証明完了です!!!

 

\mathcal{F}=\exp \left(\dfrac{i\pi}{4} \left( \mathcal{D}-x\right) \left( \mathcal{D}+x \right) \right)

 

ところでフーリエ変換の作用には周期性がある事が知られています。すなわち

\mathcal{F}^{4} f(x)=f(x) 

が成立します。見ていきましょう。

 

計算してみると、nが偶数、奇数なら

それぞれh_nは偶関数、奇関数である事が分かります。

任意の関数gに対し複素数\{c_k \}_{k=0}^{\infty}があって

 \displaystyle g(x)= \sum_{n=0}^{\infty} c_n h_n (x)

と書けるのでこれを使って

 

\mathcal{F}^{2} ・g(x)

 \displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty} c_n \mathcal{F}^{2} ・h_n (x)

 \displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty} c_n (-1)^{n} h_n (x)

 \displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty} c_n h_n (-x)

=g(-x) 

 

となるので、

 

\mathcal{F}^{2} g(x) =g(-x)

 

これはつまり2階フーリエ変換は「引数マイナス倍の作用素」と言えます。

ここでx\mathcal{D} x^{p} =px^{p}となる事から、\expとfテイラー展開して掛け合わせると

 \displaystyle a^{x\mathcal{D}} f(x)=f(ax)

と分かるので、定理2を導けました!

 

\mathcal{F}^{2} =e^{i\pi x\mathcal{D}}

 

また、直ちに

 

\mathcal{F}^{4}=1

 

これは、4回フーリエ変換すれば元に戻るってことですね。

 

が導かれます。定理1を使って書き換えると

 

 \displaystyle \exp (i\pi (\mathcal{D}-x)(\mathcal{D}+x) ) =1

さらに[ \mathcal{D} ,x] =1を使うと、

 

 \displaystyle \exp (i\pi (\mathcal{D}^{2}-x\mathcal{D}+\mathcal{D}x-x^{2}) ) =1

 \displaystyle \exp (i\pi (\mathcal{D}^{2}-x^{2} +1)) =1

より定理3が導かれました!!!

 

 \displaystyle \exp (\pi i(\mathcal{D}^{2}-x^{2} )) =-1

 e^{2\pi i (\mathcal{D}^{2}-x^{2})}

d( '-' )

 

この結果は多重化することも可能です。つまり

X=(x_1, x_2, \cdots x_n )\nabla =(\dfrac{\partial}{\partial x_1},\dfrac{\partial}{\partial x_2},\cdots ,\dfrac{\partial}{\partial x_n}) 

と置くと作用素A,B[A,B]=0ならば指数法則が成立し

e^{A}e^{B} =e^{A+B}となるので

 

e^{2\pi i (\nabla^{2} -X^{2} )}=1

 

内積\nabla^{2}ラプラシアンですがすごく美しい関係式です!

ところで、複素関数としてのフーリエ変換にはもう一種類\mathcal{F}'があり

 

 \mathcal{F}' f(x) =\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-2\pi i xt} dt

 

と変換されます。実は、先程の \displaystyle a^{x\mathcal{D}} f(x)=f(ax)

a=2\piを代入すると\mathcal{F}と\mathcal{F}'には

(2\pi )^{x\mathcal{D}} \sqrt{2\pi} \mathcal{F} =\mathcal{F}'

なる関係が成立します。[ \mathcal{D} ,x] =1を使うことで対称的に

 

 \displaystyle \mathcal{F}' =(2\pi )^{\frac{1}{2} \{ x,\mathcal{D}\} } \mathcal{F}

 

と書けました!

 

面白かったでしょうか

調和解析の1分野として分階数フーリエ変換が提案されています。

これは人工的な概念では無くtフーリエ変換は指数関数として

\mathcal{F}^{t}=\exp \left(\dfrac{i\pi t}{4} \left( \mathcal{D}-x\right) \left( \mathcal{D}+x \right) \right)

として書く事が出来るのが有用な概念として位置づけられる理由です。

フーリエ変換のq類似がありますが今回の表示とどう関わっているかよく分かってせん

よければ教えてください!

 

1階微分作用素expは熱核として研究されていますし、

実際にe^{a\mathcal{D}} f(x)=f(x+a)

が成り立ちます。しかし2階微分作用素の指数写像に関しては非自明な部分があり、

今回のこれは2階微分作用素の対称性の関係式Segal-Shale-Weil表現なんかと結びついています。行間埋めてみたので見てみてくだいさな

 

 

akaghef.hateblo.jp

 

 

では今日はこれにて〜(`・ω・´)ノ