赤げふの数学

数学･物理･微分の大学2年生赤げふのBLOG

Segal-Shale-Weil表現

tex: \displaystyle sl_2 \mathbb{R}

$sl_2 \mathbb{C}$ のSegal-Shale-Weil表現を紹介しマース

微分作用素を用いた表現です〜

$D=\dfrac{d}{dx}$ とします。

$H_+ =\dfrac{ix^2}{2\sqrt{2}}$

$H_- =\dfrac{iD^2}{2\sqrt{2}}$

$H_0 =\dfrac{Dx+xD}{4}$

を考えると、

(1) $[ H_+ ,H_-] =H_0$

(2) $[ H_0,H_+] =H_+$

(3) $[ H_-,H_0] =H_-$

が成立します。ここに、作用素の交換子の等号[\[ A,B\] =C]は任意の正則な関数fに対し

$[ A,B]f=(AB-BA)f =Cf$

である事です( $AB$ は写像の合成に注意)

量子力学で有名な恒等式

$[ D,x] =1$ を以前証明しましたがそれを使うと(3)は

$H_- =\dfrac{2xD+1}{4}$

と書き換えられます。 $xD$ の作用で固有値nに対し固有関数 $x^n$ があるので

$(xD)x^{n} =nx^n$ となります。

それでは(1)(2)(3)を証明してみましょう。

$H_0 ,H_- ,H_+$ は線形作用素で、

正則な関数fは形式的に

$\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k}$

と展開出来ますから、

それぞれの作用素をfに作用させた時、各自然数nに対し $x^{n}$ がどう変化するかを見ていけば等号が証明できます。

まず(2)は簡単です。

$[H_0 ,H_+]x^{n}$

$=(H_0 H_+ - H_+ H_0 )x^n$

$=(H_0 H_+ x^n - H_+ H_0 x^n$

$=H_0 \dfrac{ix^{n+2}}{2\sqrt{2}} -H_+ \dfrac{2n+1}{4} x^n$

$=\dfrac{i}{2\sqrt{2}} \dfrac{2n+5-2n-1}{4}x^{n+2}$

$=\dfrac{i}{2\sqrt{2}} x^2 x^n$

$=H_+ x^n$

よしっ

次(3)

$Dx^{n}=nx^{n-1}$ を使うだけです。

$[ H_- ,H_0] x^n$

$=\dfrac{i}{2\sqrt{2}} n(n-1) \dfrac{2n+1}{4} x^{n-2} - \dfrac{2n-3}{4}\dfrac{i}{2\sqrt{2}} n(n-1)x^{n-2}$

$=\dfrac{i}{2\sqrt{2}}n(n-1)x^{n-2}$

$=H_- x^{n}$

うぇいっ

最後(1)、

$[ H_+ ,H_-] x^{n}$

$=H_+ \dfrac{i}{2\sqrt{2}} n(n-1)x^{n-2} - H_- \dfrac{i}{2\sqrt{2}} x^{n+2}$

$=(\dfrac{i}{2\sqrt{2}})^{2} (n(n-1)-(n+2)(n+1)) x^{n}$

$=\dfrac{2n+1}{4} x^{n}$

$=H_0 x^{n}$

美しくて気持ちよくないですか???

(まぁi/2√2とかは調整したんですが)

2回微分のこのような関係式の存在自体が非自明で興味深いです。

詳しい話は小林俊之さんが「数学の現在 π」で語っております。

そしてこれが、フーリエ変換の微分作用素による表示へと繋がっていくのです

美しすぎて感動しますた