赤げふの数学

数学･物理･微分の大学2年生赤げふのBLOG

Möbius関数の幾何級数型等式

久しぶりの投稿であります(｡･ω･)ﾉﾞ

Möbius関数を見てたら面白い公式を見つけました

結論からいうと全く意味が分かりません(´・ω・｀)

読む意味もあるのか分かりません(´・ω・｀)

任意の整数 $n\geq 2$ に対し(tex変ですが気にしないで笑)

$\displaystyle \mu (n) =-\sum_{\dfrac{a \geq 2}{a=n}} 1 +\sum_{\dfrac{a,b\geq 2}{ab=n}} 1 -\sum_{\dfrac{a,b,c \geq 2}{abc=n}} 1 + \cdots$

シグマの各変数は自然数になるように動きます

参考Wikipedia...

Möbius function - Wikipedia

まず $abc\geq 2$ の条件を $abc\geq 1$ に書き換えます、

簡単のため正整数 $m$ に対し

$\displaystyle [m] :=\sum_{\dfrac{a_1,a_2,\cdots ,a_m \geq 1}{a_1 a_2 \cdots a_m =n}}$

と書きます(Symbolの簡約化)

すると、上式は組み合わせ論の知識を用いて

$\mu (n)= (-[1] +(-2[1] +[2]) +(-3[1]+3[2]-[3] )+\cdots ) 1$

となることが各項の $\sum$ に着目すれば帰納的に分かるでしょう。

$\sum$ を足してますが、1を各項に分配してそれを足しあげると思えば良いでしょう。

見通しよくするため $[m]$ 間の冪･積を

$[a] [b] =[a+b]$

$[a] ^0 =[0]=0$

と約束すれば

$\mu (n) =\left(\left([ 0]-[1]\right)^{0}+([0]-[1])^{1} +([0]-[1])^{2} +([0]-[1])^3 +\cdots \right) 1$

となり、これが形式的冪級数であると解釈したなら

$\mu (n)=\dfrac{1}{[0]-([0]-[1] )} 1$

$\mu (n)=\dfrac{1}{[1]} 1$

$\mu (n)=[-1] 1$

となりました＼( ´･ω･`)┐しゅたっ

冒頭で述べた通りよく分かりません(´・ω・｀)

[演習問題(絶望)]-1個の変数について足せってどういうことですか(´・ω・｀)

続行研究

$[1]$ の場合を見てきましたが、対数を考えてみましょう(指数法則の類似を満たすので考えることは自然です)

$(\log [1]) 1$

$=\log ([0]-([0]-[1]))1$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k} ([0]-[1])^k 1$

$=\dfrac{1}{m}$ ( $n=p^m$ 、pは素数、mは自然数)

$=0$ (他)

となることが分かると思います。

数論的関数としてそこそこ重要な関数が出てきました!

足される関数を今回は1しかやってませんがバリエーション色々つけれるはずです