赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

微分作用素諸定理

THEOREM 1

任意のt \in \mathbb{C},f∈{}^{\infty} Cに対し

 \displaystyle f(x+t)

 \displaystyle =e^{-x-t} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \left( t\dfrac{d}{dx} +x+\dfrac{t}{2}\right) ^{n} f(x)

 \displaystyle =e^{-x} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \left( t\dfrac{d}{dx} +x-\dfrac{t}{2}\right) ^{n} f(x)

なんか使えそう(小並感

f(x)=x^{0}(定値関数 )にしたらtの恒等式が出てきてexpの新表示作れるね。

Baker-Campbell-Hausdorff

THEOREM 2

任意の1  > |x| について

 \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{2n+1} \left( \dfrac{{}_{2n} C_{n}}{4^{n} \sqrt [ 4 ] {1-x}}\right)

 \displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{2n+1} \left( \dfrac{{}_{2n} C_{n}}{4^{n} \sqrt [ 4] {1-x}}\right) ^{-1}

この対称性の本質とは

x=1に自然境界だけど解析接続どうすんやろ(´・ω・`)

 

THEOREM 3

任意の f \in {}^{\infty} C について

 \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(\pi i)^{n}}{n!} \left( \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} -x^{2}  \right) ^{n} f(x)

 \displaystyle =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi i}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-itx} dt

これほんと凄い。これは私が発見した定理じゃないです。実直線上のsl(2,\mathbb{R} )対称性

から導かれるschrendinger modelの系らしいです(完全理解してない)

 

THEOREM 4

任意の \displaystyle f \in {}^{\infty} Cについて

 

 \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(4\pi i )^{n}}{n!} \left( \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} -x^{2} \right) ^{n} f(x)=f(x)

 恒等写像になるという非自明な面白シンプルな定理です。