■ - 赤げふの数学

昨日の数式、

原論文が見当たらないので証明出せません...

見つけときます…

今日の問題、

証明です

なんでこんな表示が多いのかよく分かりません。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{e^{2\pi k}}{(e^{2\pi k}-1 )^{2}}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k}{e^{2\pi k}-1}$

$\displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{k e^{2\pi k}}{1-e^{2\pi k}}+\dfrac{n}{2} (n+1)$

$\displaystyle =\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{8\pi}$

$\displaystyle (= \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{ke^{2\pi k}}{1-e^{2\pi k}} )$

5番目の式は繰り込みです