赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

記念すべきワイ初の円周率公式

毎日ipadのノートに数式を書き込んでるんですが昨日データが飛んじゃいました

めちゃくちゃ悲しいです

1ヶ月の進捗・アイデアが消えました。

 

まいいや昨日の問題の解決から

 

まずRamanujanが発見した公式を紹介します!

 

 \displaystyle F(z)=z^{-\frac{1}{4}} \left ( 1+4z \int_{0}^{\infty } \dfrac{t e^{- zt^{2}}}{e^{2\pi t} -1} dt \right )と置くと

 

 \displaystyle \alpha \beta =\pi^{2}のとき \displaystyle F(\alpha )=F(\beta )

 

美しい対称性です!

F(0)は発散するのでこれに微分作用素を入れるとめんどくさいことになります。

なので \mathcal{S} f(x)= f(x+1)なるシフト作用素\mathcal{S}を代入することになります。

\alpha=\pi \mathcal{S}\beta =\pi \mathcal{S}^{-1}とし、xに作用させた定数項を見ます。

ここで \displaystyle e^{\mathcal{aS}} x=(x+a)e^{a}を使います。すると

 (左辺)=F(\pi \mathcal{S})x

 \displaystyle =\pi^{-\frac{1}{4}} \mathcal{S}^{-\frac{1}{4}} \left (1+4\pi \mathcal{S} \int_{0}^{\infty} \dfrac{t(x-\pi t^{2}  ) e^{-\pi t^{2}}}{e^{2\pi t}-1} dt \right )

右辺も同様にして、定数項を見てイコール取って移行すると

 \displaystyle \int_{0}^{\infty} \dfrac{t(3-4\pi t^{2} )e^{-\pi t^{2} }}{e^{2\pi t}-1} dt=\dfrac{1}{4\pi}

 

きゅーいーでぃー

なんとこの問題wolframさんに解かれてしまいました

屈辱ぅ〜ww

 

 

さてきょうの本題&問題

心躍る円周率の表示です

 

次を証明せよ

 

 \displaystyle \pi =\sqrt [4 ]{15 \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}k!}{(2k+1)!(k+1)^{2}} \left ( 10\dfrac{\Gamma '(k+2)}{k+1} +10\gamma k! -\dfrac{3k!}{k+1} \right )}

 

Where \displaystyle \gamma (=-\Gamma ' (1) )オイラー定数

私が初めて発見した円周率の級数です

階乗がある割には交代級数なので収束は遅いです。しかもガンマ関数の微分が入っていますしオイラー定数までも登場してます(逆に興味深い?)

ちょっと変形すると\zeta (4)級数表示が出てくるでしょう。