赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

問題回答

まず前提として

 

 \displaystyle \sqrt{ z}  \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{\mu (n)}{n} e^{-\frac{\pi }{n^{2}} z} =\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{\mu (n)}{n} e^{-\frac{\pi}{n^{2}} \frac{1}{z}}

 

というRamanujanの数式があります。モジュラー形式に通じていて

\sqrt {z} f(z)=f(\dfrac{1}{z} となることが見て取れます。

証明は

" Contribution to the theory of the Riemann zeta function and the theory of the distribution of primes"

ハーディ,リトルウッド著(なんとラマヌジャンが含まれていない!!)

にあり

 

証明の概略はこれに微分作用素を入れてxに作用させて定数項比較から導く方針です

 

この等式に微分作用素を代入するわけですが、z=0で非正則なのです。もし、D (=\frac{d}{dx} ) を入れると、積分が発生し、色々めんどくさくなります(とにかく避けたい)

\dfrac{1}{1-z}=1+z+z^{2} +\cdots

という公式があるので、使うべく、zに1-Dをinstead of Dとして代入します

そしてこれをxに作用させると、

 \displaystyle \sqrt{ 1-D} \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{\mu (n)}{n} e^{\frac{\pi }{n^{2}} (D-1)} x=\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{\mu (n)}{n} e^{-\frac{\pi}{n^{2}} \frac{1}{1-D}} x

ルートを一般化二項定理より展開し、E f(x)= f(x+1)なる乗算作用素E(シフト作用素と呼ぶ)は\exp D=Eとなる有名な定理があるのでこれを使うと

(左辺) =

 \displaystyle (1-\dfrac{D}{2} +O(D^{2}) ) \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{\mu (n)}{n} e^{-\frac{\pi}{n^{2}}} (x+\dfrac{\pi}{n^{2}}

 \displaystyle a_{k}\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\mu (n)}{n^{k}} e^{-\frac{\pi}{n^{2}}}と定義すると

左辺の定数項は

-\dfrac{a_{1}}{2}+\pi a_{3}

 

次 右辺行きましょう。(右辺)=

 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{\mu (n)}{n} (x e^{-\frac{\pi}{n^{2}}} +\sum_{k=0}^{\infty }\dfrac{k}{k!} (-\dfrac{\pi }{n^{2}} )^{k}

(右辺の定数項)=-\pi a_{3}

 

\(^o^)/

ここで容易に

 \displaystyle a_{k}= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-\pi )^{n}}{n! \zeta (2n+k)}

となるので、右辺と左辺の定数項を等しく置くことによって、

 

 

 \displaystyle \dfrac{\displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-\pi )^{n}}{n! \zeta (2n+1)}}{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-\pi )^{n}}{n! \zeta (2n+3)}} =4 \pi

 

QED(1729文字)