赤げふの数学

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素数全体の集合\mathbb{P}ゼータ関数

 \displaystyle \zeta_{\mathbb{P}} (s)=\sum_{p:prime} p^{-s}

 \displaystyle \zeta_{\mathbb{P}} (s)=\sum_{k=1}^{\infty } \dfrac{\mu (k)}{k} log \zeta (ks)

という表示がある。

またlogのテイラー展開

 \displaystyle \log (0) =log(1-1)=-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+... )=-ζ(1)

また

 \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty } \dfrac{\mu (k)}{k^{s}}=\dfrac{1}{\zeta (s)}

より

 \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty } \dfrac{\mu (k)}{k}=\dfrac{1}{\zeta (1)}

以上から、任意の自然数nについて

 \displaystyle \zeta_{\mathbb{P}} (-2n)=\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\mu (k)}{k} \log \zeta (-2n)

 \displaystyle =(\log 0)\sum_{k=1}^{\infty } \dfrac{\mu k}{k}

 \displaystyle =\dfrac{-\zeta (1)}{\zeta (1)}=-1