赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

今年一番目の定理

 \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k}{k-1}=\prod_{p:prime} \dfrac{p}{p-1}=\gamma

 

あけおめですー///ヽ(*´∀`)ノ

では早速///

 

第2辺イコール第3辺は第2辺は\zeta (1)であることとこ↑こ↓で証明してあります///(ネストしすぎ///)

 

 

akaghef.hateblo.jp

 

第1辺がnewですね///

 

まず次の定理があります///

 

 \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty } (\zeta (k)-1)=1

 

証明は

 

ゴールドバッハ・オイラーの定理 - INTEGERSintegers.hatenablog.com

 

2以上の整数は2 \geq \zeta(n) \geq 1 なので小数部を取り出すには1引くだけで済みます///

この定理から

 

 \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} (\zeta (k)-1)=1

 \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \zeta (k)-\zeta (0) =1

 \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \zeta (k)+\gamma +\zeta (0)=1+2\zeta (0)+\gamma

 \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \zeta (k)=\gamma

 \displaystyle \sum_{j=1}^{\infty } \sum_{k=0}^{\infty } j^{-k}=\gamma

 \displaystyle \sum_{j=1}^{\infty} \dfrac{1}{1-\frac{1}{j}}= \gamma

 \displaystyle \sum_{j=1}^{\infty } \dfrac{j}{j-1}= \gamma