赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

2017を締めくくる発見

 

 

 

 

 

注意       この記事は信頼性に欠けます

オカシイです

 

 

 

 

 

 

いやーもう素数年も終わりですねぇ〜

冬休みに入って毎日何か公式を見つけるフィーバーなうな赤げふです( *・ω・)

 

今日は素数ゼータ関数について考えましょう。\mathbb{P}素数全体の集合。

\zeta_{\mathbb{P}} (s) \equiv \sum_{p\in \mathbb{P}} \dfrac{1}{p^{s}}

っと素数ゼータ関数は定義されます。次の式を考えると

\log \left( \zeta (s) \right)

\displaystyle =\log \left( \prod_{p\in \mathbb{P}} \dfrac{1}{1-\frac{1}{p^{s}}} \right)

\displaystyle = \sum_{p\in \mathbb{P}} \log \left(1-\dfrac{1}{p^{s}} \right)

\displaystyle =\sum_{p\in \mathbb{P}} \sum_{k=1}^{\infty } \dfrac{p^{-ks}}{k}

\displaystyle =\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k} \sum_{p \in \mathbb{P}} \dfrac{1}{p^{ks}}

\displaystyle =\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\zeta_{\mathbb{P}} (ks) }{k} (2)

2から3行目はテイラー展開

ここで数論的関数f,gと自然数nについてメビウスの反転公式

\displaystyle f(n)=\sum_{k=1}^{\infty } \dfrac{g(nk)}{k} \Leftrightarrow g(n)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\mu (k)}{k} f(nk)

が使えるので、(2)は

\displaystyle \zeta_{p \in \mathbb{P}} (s)=\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\mu (k)}{k} \log (\zeta (ks)) (3)

となりました〜

この表示ではR_{+}/ \{ \frac{1}{n}| n\in \mathbb{N} \}で正則です

\zeta (1)が邪魔なんですね〜w

ですがここで\zeta_{\mathbb{P}} (1)を思い切って求めちゃいましょう

発散する値をそのまま求めてしまうとおかしくなるのである作用素を作って有限に繰りこんでしまいましょう。その作用素

\displaystyle \mathcal{D} \equiv \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\mathcal{E}^{h}+\mathcal{E}^{-h}}{2}

とします。ただし\mathcal{E}はシフト作用素で要は

\displaystyle \mathcal{D} f(x)=lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)+f(x-h)}{2}

です。強力な性質として既約有理関数f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}=p(x)+\frac{q(x)}{v(x)}

(u,vは多項式、pは商、qは余り)に\mathcal{D}を作用させるとき、x=tがvの零点(つまりfの極)ならば

\mathcal{D} f(t)=p(t) 

(厳密に書くなら\mathcal{D}をfに作用させてx=tを代入するって書くべきですが煩わしいので。)

これを見ると発散する部分(剰余の所)をガン無視した形になっています!

 

また他には

-\mathcal{D} \Gamma(-1)=\mathcal{D} \zeta (1)=\gamma   (5)

となるんですねぇ〜

ここに\gammaオイラー・マスケローニ定数です

\mathcal{D}を作用させたとは言えどそれが極におけるその関数の本質だと私は考えます。

極の情報をその近傍の極限によって見出す手法です。

私のブログでも以前に\zeta (1)=\gammaかも、と証明しています

 

akaghef.hateblo.jp

 

今の所出番無いですが、ある種の真性特異点でも

\lim_{h \rightarrow 0} \sqrt{f(x+h)f(x-h)}

でできそうな感じがします。

 

ところで、\gammaは以下のように定義されました

\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n} -\log (n)=\gamma   

左辺はζ(1)の極限の形が出てきていますが(5)を見るとlog∞=0なのか...?と思わせるけどどうなんでしょう。

\zeta_{p \in \mathbb{P}} にも同じようなものあるか?ーー答えはyesです

 

 f:id:AkaGhef:20171231101213j:image

(3)の左辺の最終項をlog(log(n))、他をn以下の素数の逆数和に差し替えると

極限はMになります。

このMはMeissel–Mertens constantと呼びます

にしても画像見ると100万までの素数の逆数を足しても2.7に満たないんですね〜

恐ろしく遅い....(´・ω・`)

Mは別の表示を持っていて

\displaystyle M=\gamma +\sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{\mu (k)}{k} \log ( \zeta (k)) \tag{11}

\displaystyle M=\gamma +\sum_{p\in \mathbb{P}} \left( \log \left( 1-\dfrac{1}{p} \right) +\dfrac{1}{p} \right) \tag{13}

(11) と(3)を使って

\displaystyle \zeta_{\mathbb{P}} (1)=\log \gamma +\sum_{k=2}^{\infty } \dfrac{\mu (k)}{k} \log \zeta (k)

=M-\gamma +\log \gamma

つまりどういう事か

\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{11}...=\infty

=M-\gamma +\log \gamma =-0.86525776503553489918...

なのです!!MはMeissel-Mertens定数、\gammaはEuler-Mascheroni定数。

つまり素数の逆数和をくりこんだ事になります!!!

n以下の素数p_{1},p_{2},...p_{m}を考えると

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}  \prod_{k=1}^{m} (1+\dfrac{1}{p_{k} -1}

\displaystyle \log \left( \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} \right) \leq \sum_{k=1}^{m}\dfrac{1}{p_{k}-1}

\displaystyle \leq 1+ \sum_{k=1}^{m} \dfrac{1}{p_{k}}

一方、

\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}...

\geq \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}...

=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}...=\infty

より素数の無限和は発散することが分かりました。

レオンハルトオイラーがこれを示しています。

また自然数の逆数和は発散する事をニコラス・オレームが発見しています。

それを今回繰りこんだことになります。(11)は証明を書くのが大変なので今度付け足しときます。今度は(13)を使って証明をしてみましょ

\displaystyle M=\gamma - \log \left( \prod_{p\in \mathbb{P}} \dfrac{1}{p} \right) +\sum_{p\in \mathbb{P}} \dfrac{1}{p}

\zeta_{\mathbb{P}} (1)=M-\gamma +\log \gamma

(`・∀・)ノイェ-イ!

まだまだ話が続きますが今日はここまでにしましょ

では、

来年もよろしくです〜(*`・ω・)ゞ