赤げふの数学

数学･物理･微分の大学2年生 赤げふのBLOG

x!の発散乗積表示(証明っぽいのあるけど確証なし)

 

 

 

 

注意      この記事は信頼性に欠けます

オカシイです

 

 

 

\displaystyle \varphi (x)=\prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{1+\frac{x}{n}}

 

という奴と睨めっこしますよ〜(　＾\omega＾)

\varphiはx=0を除いて常に発散します。

 

\displaystyle \varphi (x)=\prod_{k=1}^{\infty } \dfrac{x+k}{k}

 

と変形して、望遠鏡積(って言うのか分からないけども)から、

発散することは明らかですね(｀・\forall・)ﾉｲｪ-ｲ！

でも実は

 

＿人人 人人＿

＞ \varphi (x)=x! ＜

￣Y^Y^Y^Y￣

 

と思うんです!!( \zeta (1)=\gammaと仮定するならば)

 

  \displaystyle \dfrac{1}{\Gamma (x)}=xe^{\gamma x} \prod_{k=1}^{\infty }\dfrac{1+\frac{x}{k}}{e^{\frac{x}{k}}}

 

という公式が世にはあります(´・\omega・｀)変形し、

 

e^{\gamma x}x!=\dfrac{\exp (x\zeta (1))}{\prod_{k=1}^{\infty } (1+\frac{x}{k})}

 

ここで \zeta (1)=\gammaをつかい

 

\displaystyle x!=\prod_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{k}}

 

と示されました(・\nabla・ )

 

ヒューリスティクス的には、0!は自明に\varphi (0)=1

となりますし、xが負整数ならば部分積の段階で\inftyが出てくる様子はx!そのものであります。

形上、ゼータとガンマが友達っぽいのが掴めます

 

ガンマ関数の逆数の公式ですが、あれにはこの\varphiに収束因子

 

e^{\gamma x}=\prod_{k=1}^{\infty} e^{\dfrac{x}{k}}

 

が掛けられると解釈できます。収束因子が発散してるのも変ですが

 

今日の発見です。ありがとうございました〜(｡･\omega･)ﾉﾞ