赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

x!の発散乗積表示(証明っぽいのあるけど確証なし)

\displaystyle \varphi (x)=\prod_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{1+\frac{x}{n}}

 

という奴と睨めっこしますよ〜( ^\omega^)

\varphix=0を除いて常に発散します。

 

 \displaystyle \varphi (x)=\prod_{k=1}^{\infty } \dfrac{x+k}{k}

 

と変形して、望遠鏡積(って言うのか分からないけども)から、

発散することは明らかですね(`・\forall・)ノイェ-イ!

でも実は

 

_人人 人人_

\varphi (x)=x!

 ̄Y^Y^Y^Y ̄

 

と思うんです!!( \zeta (1)=\gammaと仮定するならば)

 

  \displaystyle \dfrac{1}{\Gamma (x)}=xe^{\gamma x} \prod_{k=1}^{\infty }\dfrac{1+\frac{x}{k}}{e^{\frac{x}{k}}}

 

という公式が世にはあります(´・\omega・`)変形し、

 

 e^{\gamma x}x!=\dfrac{\exp (x\zeta (1))}{\prod_{k=1}^{\infty } (1+\frac{x}{k})}

 

ここで \zeta (1)=\gammaをつかい

 

 \displaystyle x!=\prod_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{k}}

 

と示されました(・\nabla・ )

 

ヒューリスティクス的には、0!は自明に\varphi (0)=1

となりますし、xが負整数ならば部分積の段階で\inftyが出てくる様子はx!そのものであります。

形上、ゼータとガンマが友達っぽいのが掴めます

 

ガンマ関数の逆数の公式ですが、あれにはこの\varphiに収束因子

 

e^{\gamma x}=\prod_{k=1}^{\infty} e^{\dfrac{x}{k}}

 

が掛けられると解釈できます。収束因子が発散してるのも変ですが

 

今日の発見です。ありがとうございました〜(。・\omega・)ノ゙