赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

とある発散数列

おはこんばんちわ〜www((((o´ω`o)ノ

赤げふですwwww

 

デデン!Theorem

 

a_{0}=b_{1}=c_{2}=1

a_{n+1}=(n+1)a_{n}+0

b_{n+1}=(n+1)b_{n}+a_{n}

c_{n+1}=(n+1)c_{n}+b_{n}

 

という漸化式を定義すると

 

a_{ \infty }= \sqrt {2 \pi }

b_{ \infty }= \gamma \sqrt{2 \pi }

c_{ \infty }= \dfrac{ 6\gamma^{2} -\pi^{2}}{12} \sqrt{2 \pi}

 

になるかも知れませんwww(妥当性の証明が出来てないからですwww)

Proof apart;

関数Fを以下のように定義しますwwww

 

  \displaystyle F(x)= \prod_{k=1}^{ \infty} (x+k)

 

やりたい事は分かるでしょうかwww

 

そうwww微分演算子\frac{d}{dx}を突っ込むのですwwww

Fに\frac{d}{dx}を突っ込んだものをxに作用させてみましょうwwww

 

I=f(\frac{d}{dx})x=...(\frac{d}{dx}+2)(\frac{d}{dx}+1)x

 

積の形なので、右から順に展開させていきましょうwwwwww

 

=...(\frac{d}{dx}+3)(\frac{d}{dx}+2)(x+1)

=...(\frac{d}{dx}+4)(\frac{d}{dx}+3)(2(x+1)+\frac{d}{dx} (x+1))

=...(\frac{d}{dx}+4)(\frac{d}{dx}+3)(2x+3)

=...(\frac{d}{dx}+5)(\frac{d}{dx}+4)(6x+11) ...①

etc...

 

xの係数と定数項に冒頭で定義した数列a,bがここに現れていますwww

実際(\frac{d}{dx}+m)を作用させたら暫定的な一次関数(①でいう6x+11)

a_{m}x+b_{m}となっていることが分かりますwww

なので

 

I=a_{\infty }x+b_{\infty }...②

 

で?って話ですよねwww

実はLerchはこんな等式を発見していますwww

 

 F(x)=\dfrac{\sqrt{2 \pi }}{x!}

 

従って

 

I=F(\frac{d}{dx})x=\sqrt{2 \pi }\dfrac{1}{\frac{d}{dx}!} x

 

微分演算子の階乗の逆数をxに作用させるってなんやねんwww

これは、微分演算子の階乗を作用させると、xになるような関数を求めるってことですwww

以前私の記事にて、

 

\dfrac{d}{dx}!x=x-\gamma

\frac{d}{dx}!t=t(tとxは無関係)

 

を示しましたwwwそれを用いると

 

\dfrac{1}{\frac{d}{dx}!}x=\dfrac{1}{\frac{d}{dx}!} ( ( x-\gamma ) +\gamma )

=x+\gamma

 

になるんですねぇwww

よって

 

I=\sqrt{2 \pi }\dfrac{1}{\frac{d}{dx}!} x=\sqrt{2 \pi}x+\gamma \sqrt{2\pi }

 

②と係数を見比べることによって

 

a_{ \infty }= \sqrt {2 \pi }
b_{ \infty }= \gamma \sqrt{2 \pi }

 

が得られませんでした〜www

 

a_{n}=n!なのでa_{\infty}は実質、

 

\infty !=\sqrt{2\pi}

 

となりますwww  これはRiemannが既に発見していますwww

因みに私がもっとも好きな数式でありますwww

 

c_{\infty}F(\frac{d}{dx})x^{2}に作用させますwww

省きますが②と同様にやると

 

J=F(\frac{d}{dx})x^{2}=a_{\infty }x^{2}+2b_{\infty}x+2c_{\infty }

 

を得、

 

\frac{d}{dx}!x^{2}=(x-\gamma)^{2}+\zeta (2)

 

から

 

\dfrac{1}{\frac{d}{dx}!}x^{2}=(x+\gamma )^{2}-\zeta (2)

 

を導き、

 

2c_{\infty }=\sqrt{2\pi }(\gamma^{2}-\zeta (2))

 

となって

 

c_{ \infty }= \dfrac{ 6\gamma^{2} -\pi^{2}}{12} \sqrt{2 \pi}

 

となりました〜www

 

数列a,b,cは規則正しいので流れに沿ってd_{n}を定義すると

 

d_{\infty}=\sqrt{2\pi}(\dfrac{\gamma^{3}}{6}-\dfrac{\zeta (2)}{2}\gamma +\dfrac{\zeta (3)}{3})

 

楽しんで頂けたでしょうかwww

 

未発見だといいなぁ〜www

 

ではまた〜(゚∀゚)アヒャヒャヒャヒャヒャヒャヒャヒャヒャヒゴッ!!!ゴホッ!ゴホッオエェェェー!!