赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

真偽問う!!

(*´・ω・)ノこんばんわぁ

Wikipediaサーフィンしてるとこんなの見つけました

 

1-1+2-6+24-...=0.596347362323194074341...

 

どうみてもおかしいので解析接続の賜物なんでしょう(´・ω・`)

カラクリは至って単純です。x!をまずEulerによる積分表示に書き換えます。

 

\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} k!

=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \int_{0}^{\infty} t^{k}e^{-t} dt

=\int_{0}^{\infty} \bigg ( \sum_{k=0}^{\infty} (-t)^{k} \bigg )e^{-t} dt

=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-t}}{1+t} dt        ...(A)

=0.596347362323194074341...

 

さてここからが私が問いたい事です。

 

自然数の階乗の総和は0.6971794...か?

 

先程の数式は(-1)^{k}を抜かして書き換えれば(A)は

 

=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-t}}{1-t} dt

 

となり、計算方法としては

 

\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \bigg ( \int_{0}^{1-\epsilon } +\int_{1+\epsilon}^{\infty} \bigg ) \dfrac{e^{-t}}{1-t} dt

 

従って

 

\sum_{k=0}^{\infty} k! =0.6971748832350660687655...

 

と計算されます。

これはナンセンスなのでしょうか??