真偽問う!! - 赤げふの数学

(*´・ω・)ﾉこんばんわぁ

Wikipediaサーフィンしてるとこんなの見つけました

$1-1+2-6+24-...=0.596347362323194074341...$

どうみてもおかしいので解析接続の賜物なんでしょう(´・ω・｀)

カラクリは至って単純です。x!をまずEulerによる積分表示に書き換えます。

$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} k!$

$=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \int_{0}^{\infty} t^{k}e^{-t} dt$

$=\int_{0}^{\infty} \bigg ( \sum_{k=0}^{\infty} (-t)^{k} \bigg )e^{-t} dt$

$=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-t}}{1+t} dt$ ...(A)

$=0.596347362323194074341...$

さてここからが私が問いたい事です。

自然数の階乗の総和は0.6971794...か?

先程の数式は $(-1)^{k}$ を抜かして書き換えれば(A)は

$=\int_{0}^{\infty} \dfrac{e^{-t}}{1-t} dt$

となり、計算方法としては

$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \bigg ( \int_{0}^{1-\epsilon } +\int_{1+\epsilon}^{\infty} \bigg ) \dfrac{e^{-t}}{1-t} dt$

従って

$\sum_{k=0}^{\infty} k! =0.6971748832350660687655...$

と計算されます。

これはナンセンスなのでしょうか??