赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

zeta(d/dx)x^3

今日はとある需要皆無な公式を見つけましたのでご紹介致します。天下り的ですが、以下のように定数を定めます。

 

 

Z_{0}=-\frac{1}{2}

Z_{1} =0

Z_{2} =\frac{1}{2} \gamma^{2} +\gamma_{1} -\frac{1}{4} \zeta (2)

Z_{3} =\gamma^{3}+3\gamma \gamma_{1} +\frac{2}{3} \gamma_{2} -\zeta (3)

 

とすると

 

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{0}=Z_{0}

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{1}=Z_{0}x+Z_{1}

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{2}=Z_{0}x^{2}+2Z_{1}x+Z_{2}

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{3}=Z_{0}x^{3}+3Z_{1}x^{2}+3Z_{2}x+Z_{3}

 

 

と書けるんですね〜(´つヮ⊂)ウオォwww

 

形に着目すると(二項係数の形ミスってて申しわけないです)

 

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}} \zeta (\frac{d}{dx})x^{n}=\sum_{k=0}^{\infty} x^{n-k} _{n}C_{k}Z_{k}

 

と予想できます(Z_{4}以降の値が分からないのでなんとも言えないですが...。)

 

一個ずつ紐解いていきましょう(´・ω・`)

以前記事で

 

 a^{\frac{d}{dx}} =E^{\log a}

 

を示しました。なので

 

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}=E^{-\log 2\pi}

 

見た事あるような定数が浮かんできます(´∀`*)

そして

 

\zeta (\frac{d}{dx})=\sum_{k=1}^{\infty} E^{-\log k}

 

です。

これをxに作用させると、

 

\zeta (\frac{d}{dx})x=x \sum_{k=1}^{\infty} 1- \sum_{j=1}^{\infty} \log j

=x\zeta (0) -\zeta '(0)

=-\dfrac{x+\log \pi}{2}

 

となります( ゚ω゚)ありゃりゃ

ゼータ関数の特殊値

 

\zeta (0)=-\dfrac{1}{2}

\zeta '(0)=\log 2\pi

 

を使いました。また、x^{2}に作用することにより

 

\zeta(\frac{d}{dx})x^{2}=x^{2} \sum_{k=1}^{\infty} 1- 2x\sum_{j=1}^{\infty} \log j +\sum_{i=1}^{\infty} \log^{2} i

 

第3項をゴリ押しの手計算で求めました、大変。

第3項の計算は以下のように発散級数を表せます(`・∀・)ノイェ-イ!

 

\sum_{i=1}^{\infty} \log^{2} i =\gamma_{1}-\dfrac{\pi^{2}}{24}+\dfrac{\gamma^{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\log^{2} 2\pi

 

改めて書くと

(2\pi )^{-\frac{d}{dx}}\zeta (\frac{d}{dx})x^{3}=-\frac{1}{2}x^{3}+3(\frac{1}{2} \gamma^{2} +\gamma_{1} -\frac{1}{4} \zeta (2))x+(\gamma^{3}+3\gamma \gamma_{1} +\frac{2}{3} \gamma_{2} -\zeta (3))