赤げふの数学

数学･物理･微分の大学2年生赤げふのBLOG

微分演算子の交換

関数の右から微分作用素を作用させる、つまり $f(x) \dfrac{d}{dx}$ ってなんやねんと思ったので見ていきたいと思います。

以下では $kD$ は作用、 $k \cdot D$ はただの掛け算と区別します。先ず交換関係を導入しましょ。

$[ X,Y ] =XY-YX$ と定義します。

基本的に以下2つを満たします。

(i) $[ A,B] =-[ B,A]$

(ii) $[ aA+B,C] =a[ A,C] +[ B,C]$

今から $[ D,f ]$ (D:微分作用素)を求めるわけですが、天下り的に以下の式をConsiderします。

$[ D-f,D+f] g$

定義より展開すると、(ドット積と作用は違う事に注意してください(･ω･) )

$=(D-f)(Dg+fg)-(D+f)(Dg-fg)$ $=(D^{2}g+f\cdot Dg+g\cdot Df)-(f\cdot Dg+f^{2}g)-(D^{2}g-f\cdot Dg-g\cdot Df)-(f\cdot Dg-f^{2}g)$ $=2g\cdot Df$

つまりgに $[ D-f,D+f]$ を作用させる事は gに $2Df$ を掛け合わせる事に等しいのです!! ...①

また(i),(ii)より

$[ D-f,D+f]$ $=[D,D] +[D,f] +[-f,D] +[-f,f]$ $=2[D,f]$ ...②

①②より

$[ D,f] = Df$

つまり

$fD=0$

と分かりました!! 事実,量子力学では

$\dfrac{d}{dx}x-x\dfrac{d}{dx}=1$

という基本法則があるみたいですね〜面白そうですが日本のネットじゃヒットしませんねぇ(´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ楽しんでいただけたでしょうか(｀・∀・)ﾉｲｪ-ｲ！それではまた明日ﾊﾞｲﾊﾞｲ(ヾ(´・ω・｀)