赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

微分演算子の交換

関数の右から微分作用素を作用させる、つまりf(x) \dfrac{d}{dx} ってなんやねん と思ったので見ていきたいと思います。

以下ではkDは作用、k \cdot Dはただの掛け算と区別します。 先ず交換関係を導入しましょ。

[ X,Y ] =XY-YX と定義します。

基本的に以下2つを満たします。

(i) [ A,B] =-[ B,A]

(ii) [ aA+B,C] =a[ A,C] +[ B,C]

今から[ D,f ] (D:微分作用素)を求めるわけですが、天下り的に以下の式をConsiderします。

[ D-f,D+f] g

定義より展開すると、(ドット積と作用は違う事に注意してください(・ω・) )

=(D-f)(Dg+fg)-(D+f)(Dg-fg) =(D^{2}g+f\cdot Dg+g\cdot Df)-(f\cdot Dg+f^{2}g)-(D^{2}g-f\cdot Dg-g\cdot Df)-(f\cdot Dg-f^{2}g) =2g\cdot Df

つまりgに[ D-f,D+f] を作用させる事は gに2Dfを掛け合わせる事に等しいのです!! ...①

また(i),(ii)より

[ D-f,D+f] =[D,D] +[D,f] +[-f,D] +[-f,f] =2[D,f] ...②

①②より

[ D,f] = Df

つまり

fD=0

と分かりました!! 事実,量子力学では

\dfrac{d}{dx}x-x\dfrac{d}{dx}=1

という基本法則があるみたいですね〜 面白そうですが日本のネットじゃヒットしませんねぇ(´・ω・`)ショボーン 楽しんでいただけたでしょうか(`・∀・)ノイェ-イ! それではまた明日バイバイ(ヾ(´・ω・`)