赤げふの数学

数学･物理･微分の大学2年生赤げふのBLOG

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texの調子がおかしい起訴。

が編集時毎回消えるのは辛い。

最近

$f(x)=\int_{0}^{\infty} e^{-t}\ln^{x} t dt$

について研究している。

証明出来たことは

$f(0)=1$

$f(1)=-\gamma$

$f(2)=\gamma^{2}+\dfrac{\pi^{2}}{6}$

だけである。 $\gamma$ はオイラー･マスケローニ定数であるが、特に $f(2)$ は $\zeta(2)$ が現れていることが興味深い。

また

$\dfrac{f(-1)+1}{2}=-0.57723982066002123...$

を見ると $-\gamma$ にしか見えない。

しかし先程の定数をAと置くと

$A+\gamma=-0.0000241557584884...$ という極微な定数が現れる。積分区間に特異点を含むのでマシンの誤差では?と当初思われたが、式変形を施し、狼･desmos･keisan!三つに計算させても、全く同じ結果を出すのである。

因みに、本研究において成果が得られれば、 $\dfrac{d}{dx}!x^{n}$ を計算でき、 $\zeta(1)$ の発散級数表示が出来るのである(笑)

$f(n)=(-\gamma)^{n}+C_{n}$ (n:自然数)と書けると予想するがまだ不確実である。

$f(3)+\gamma^{3}+\dfrac{\varpi^{4}}{9}=0.00051...$ とこれまた惜しい。

ヒントか何か欲しい $\zeta$