赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

texの調子がおかしい  起訴。

が編集時毎回消えるのは辛い。

最近

f(x)=\int_{0}^{\infty} e^{-t}\ln^{x} t dt

について研究している。

 証明出来たことは

f(0)=1

f(1)=-\gamma

f(2)=\gamma^{2}+\dfrac{\pi^{2}}{6}

だけである。\gammaオイラー・マスケローニ定数であるが、特にf(2)\zeta(2)が現れていることが興味深い。

また

\dfrac{f(-1)+1}{2}=-0.57723982066002123...

を見ると-\gammaにしか見えない。

しかし先程の定数をAと置くと

A+\gamma=-0.0000241557584884...という極微な定数が現れる。積分区間特異点を含むのでマシンの誤差では?と当初思われたが、式変形を施し、狼・desmos・keisan!三つに計算させても、全く同じ結果を出すのである。

因みに、本研究において成果が得られれば、\dfrac{d}{dx}!x^{n} を計算でき、\zeta(1)の発散級数表示が出来るのである(笑)

f(n)=(-\gamma)^{n}+C_{n}(n:自然数)と書けると予想するがまだ不確実である。

 f(3)+\gamma^{3}+\dfrac{\varpi^{4}}{9}=0.00051...とこれまた惜しい。

ヒントか何か欲しい\zeta