赤げふの数学

数学･物理･微分の大学2年生赤げふのBLOG

d/dxいじりwithテイラー展開

赤げふです(*･ω･)*_ _)

微分演算子Dについて考えてみた事まとめようと思いまする。

自我流で変な事言ってますが、指摘どんどん下さい笑

微分演算子含む作用素を関数とその引数に対して作用する演算子と定義する。

$\dfrac{d}{dx}f(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ....①

ここで $E^{h};f(x)\longmapsto f(x+h)$ なる作用素 $E^{h}$ を定義する。①は

$\dfrac{d}{dx}f(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{E^{h}f(x)-f(x)}{E^{h}x-x}$

と書き換えられる。

hを1と書き換えることによって差分が出てきますね=͟͟͞͞( ๑`･ω･´)

Theorem1 $A^{D}=E^{\ln A}$

微分演算子は作用する変数･関数で交換･結合法則共に満たさない。しかしスカラーは交換が可能なのは行列と似ている。基本的に作用素は関数に対し左から作用する左作用で議論を展開します。掛け算の構造なので微分演算子のn乗はn階微分に相当する。

Proof;テイラー展開を使えば楽勝でありますヽ(*´∀｀)ノ

$e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^{k}}{k!}$

このxに微分演算子Dを(無理矢理)代入し、x^nの左から作用させる。

$\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{D^{k}}{k!}x^n$

$=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{n!x^{n-k}}{(n-k)!k!}$

$=(1+x)^{n}=E^{1}x^{n}$

∑の処理は二項定理です。

任意のxの整数冪で成り立つので、ある関数fに作用させるときも、fのテイラー級数に対して作用させれば結果は変わりません(多分)。 Q.E.D.

正の実数 $a$ に対し $a^{D}=\exp^{D \ln{a}}=E^{\ln a}$ である事から同様に証明できます

Theorem 2

$\dfrac{d}{dx}!x=x-\gamma$

階乗って整数の定義域だけじゃないの?って思うかもですがガンマ関数だと+1という余計な物が出るので見栄えの為階乗でやってます。(ルジャンドルの関数使えば良いかも知れませんが知名度が知名度なので。)

Proof；何れにせよガンマ関数の定義式をそのまま当てはめます。

$D!=\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{D}dt$

$=\int_{0}^{\infty}e^{-t}E^{\ln(t)}dt$

これをxに作用させると、

$x\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-t}\ln(t)dt$

ここで第2項は $-\gamma$ となります。

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よって題意は示されました(´°ω°)ﾁｰﾝ

また $x^{2}$ に作用させると $(x-\gamma)^{2}+\dfrac{\pi^{2}}{6}$ となります。

( $\int_{0}^{\infty}e^{-t}\ln^{2}(t)dt=\gamma^{2}+\dfrac{\pi^{2}}{6}$ を用いて同様にできmath)

一般のx^nについて見てみたいですが、まだわかってない事が多いです。