赤げふの数学

数学・物理・微分の大学2年生 赤げふのBLOG

半階微分の公式☆

こんにちは、赤げふです

 

websiteで次のlemmaを見た

D=\frac{d}{dx}(微分作用素)と定義する。{}^{\infty}C級関数fについて

 \displaystyle \sqrt{D} f(x)=\dfrac{f(0)}{\sqrt{\pi x}} +\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} \dfrac{f^{(1)} (t)dt}{\sqrt{x-t}}

 \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{D}} f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} \dfrac{f(t)dt}{\sqrt{x-t}}

証明は添えられていなかったですが頑張って証明できたので載っけます。

後者は「半階積分」とも言えますが始点終点の引数がないため所謂積分とも違い、半階微分の逆写像として定義されます。

n階微分の一般化は様々ですが、今回は基底\{x^{0} ,x^{1} ,x^{2} ,...\}の左作用で半階微分を規定しましょぅ。

任意の自然数n,mについてD^{n} x^{m}=\dfrac{m!}{(m-n)!} x^{m-n}である事は容易に確かめられると思います。これを拡張子、非負実数r,sについてD^{r} x^{s}=\dfrac{\Gamma (s+1)}{\Gamma (s-r+1)} x^{s-r}(\Gammaはガンマ関数)

すると非負整数nについてD^{-\frac{1}{2}} x^{n}=\dfrac{n!}{\Gamma(n+\frac{3}{2})} x^{n+\frac{1}{2}} 

...(1)です。一方天下りですがfollowing integralationをconsiderします

\displaystyle I_{n} :=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} t dt

 \displaystyle I_{n}=[-\sin t \cos^{2n} t]_{0}^{\frac{\pi}{2}} +2n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-1} t (1-\sin^{2} t) dt

よってfollowing recursionをget

I_n =\dfrac{n}{n+\frac{1}{2}} I_{n-1},I_0 =1

故に一般項はI_n=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\dfrac{n!}{\Gamma (n+\frac{3}{2})}です。

ここで\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}を用いました。(1)より

\displaystyle D^{-\frac{1}{2}} x^{n}=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}x^{n+\frac{1}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} t dt

 \displaystyle =\dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \dfrac{t^{n} dt}{\sqrt{x-t}}

となります。最後の等号はt\leftarrow x \sin^{2} tを用いました。

よってfを冪級数展開して、任意のx^{n}の係数について線型性で成り立つので証明完了です。ε=( ̄。 ̄;)フゥ

作用素の定理ですので色々なcorollaryが得られそうです。

微分作用素に現れるベクトル空間

量子力学にある有名な等式

\dfrac{d}{dx} x -x \dfrac{d}{dx} =1

があります。証明は以前私の記事でしたんですが、

交換子 [ A,B ] =AB-BAを用いてn変数に拡張しますと

[ \dfrac{d}{dx_i} ,x_i =1]

i \neq j \Rightarrow [ \dfrac{d}{dx_i} ,x_j ]=0

微分する対象の変数が異なる場合スカラーとみなせますね。

故に[ \dfrac{d}{dx_i} ,x_j ] = \delta_{ij}

これが双対空間の規定

 \displaystyle [  \frac{d}{dx_j} ,\sum_i x_i ] =x_j

と似ています。積が交換子になるんだなぁ(´・ω・`)

交換子は双線型形式ですしおすし。内積にしては1風変わってる。

未定義の行列の積が作用素との対応で定義出来ないかなぁなんて思う。

 

 

微分作用素諸定理

THEOREM 1

任意のt \in \mathbb{C},f∈{}^{\infty} Cに対し

 \displaystyle f(x+t)

 \displaystyle =e^{-x-t} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \left( t\dfrac{d}{dx} +x+\dfrac{t}{2}\right) ^{n} f(x)

 \displaystyle =e^{-x} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \left( t\dfrac{d}{dx} +x-\dfrac{t}{2}\right) ^{n} f(x)

なんか使えそう(小並感

f(x)=x^{0}(定値関数 )にしたらtの恒等式が出てきてexpの新表示作れるね。

Baker-Campbell-Hausdorff

THEOREM 2

任意の1  > |x| について

 \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{2n+1} \left( \dfrac{{}_{2n} C_{n}}{4^{n} \sqrt [ 4 ] {1-x}}\right)

 \displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{2n+1} \left( \dfrac{{}_{2n} C_{n}}{4^{n} \sqrt [ 4] {1-x}}\right) ^{-1}

この対称性の本質とは

x=1に自然境界だけど解析接続どうすんやろ(´・ω・`)

 

THEOREM 3

任意の f \in {}^{\infty} C について

 \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(\pi i)^{n}}{n!} \left( \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} -x^{2}  \right) ^{n} f(x)

 \displaystyle =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi i}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-itx} dt

これほんと凄い。これは私が発見した定理じゃないです。実直線上のsl(2,\mathbb{R} )対称性

から導かれるschrendinger modelの系らしいです(完全理解してない)

 

THEOREM 4

任意の \displaystyle f \in {}^{\infty} Cについて

 

 \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(4\pi i )^{n}}{n!} \left( \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} -x^{2} \right) ^{n} f(x)=f(x)

 恒等写像になるという非自明な面白シンプルな定理です。