2018-07-08

微分作用素に現れるベクトル空間

量子力学にある有名な等式

$\dfrac{d}{dx} x -x \dfrac{d}{dx} =1$

があります。証明は以前私の記事でしたんですが、

交換子 $[ A,B ] =AB-BA$ を用いて $n$ 変数に拡張しますと

$[ \dfrac{d}{dx_i} ,x_i$ =1]

$i \neq j \Rightarrow [ \dfrac{d}{dx_i} ,x_j ]=0$

微分する対象の変数が異なる場合スカラーとみなせますね。

故に $[ \dfrac{d}{dx_i} ,x_j ] = \delta_{ij}$

これが双対空間の規定

$\displaystyle [ \frac{d}{dx_j} ,\sum_i x_i ] =x_j$

と似ています。積が交換子になるんだなぁ(´・ω・｀)

交換子は双線型形式ですしおすし。内積にしては1風変わってる。

未定義の行列の積が作用素との対応で定義出来ないかなぁなんて思う。

2018-06-30

微分作用素諸定理

THEOREM 1

任意の $t \in \mathbb{C},f∈{}^{\infty} C$ に対し

$\displaystyle f(x+t)$

$\displaystyle =e^{-x-t} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \left( t\dfrac{d}{dx} +x+\dfrac{t}{2}\right) ^{n} f(x)$

$\displaystyle =e^{-x} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} \left( t\dfrac{d}{dx} +x-\dfrac{t}{2}\right) ^{n} f(x)$

なんか使えそう(小並感

$f(x)=x^{0}$ (定値関数 )にしたらtの恒等式が出てきてexpの新表示作れるね。

Baker-Campbell-Hausdorff

THEOREM 2

任意の $1$ > $|x|$ について

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{2n+1} \left( \dfrac{{}_{2n} C_{n}}{4^{n} \sqrt [ 4 ] {1-x}}\right)$

$\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{2n+1} \left( \dfrac{{}_{2n} C_{n}}{4^{n} \sqrt [ 4] {1-x}}\right) ^{-1}$

この対称性の本質とは

x=1に自然境界だけど解析接続どうすんやろ(´・ω・｀)

THEOREM 3

任意の $f \in {}^{\infty} C$ について

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(\pi i)^{n}}{n!} \left( \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} -x^{2} \right) ^{n} f(x)$

$\displaystyle =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi i}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-itx} dt$

これほんと凄い。これは私が発見した定理じゃないです。実直線上の $sl(2,\mathbb{R} )$ 対称性

から導かれるschrendinger modelの系らしいです(完全理解してない)

THEOREM 4

任意の $\displaystyle f \in {}^{\infty} C$ について

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(4\pi i )^{n}}{n!} \left( \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} -x^{2} \right) ^{n} f(x)=f(x)$

恒等写像になるという非自明な面白シンプルな定理です。

2018-06-11

！進数表示

$A\in\mathbb{N}$ に対し $a_{m}^{(n)}\in\mathbb{Z}$ を以下のように定める(上は添字)

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k!a^{(n)}_{k}=A^{n}$ $\left( 0\leqq a_{m}^{(n)}\leqq m \right)$

この時 $a_{m}^{(n)}$ は $n$ に関して周期的

(つまり $\forall A\forall m\in\mathbb{N},\exists N\in\mathbb{N}\exists p$ $s.t. \forall n,n\geqq N \Rightarrow a_{m}^{(n+p)}=a_{m}^{(n)}$ )

であるか?

2018-05-22

■

$x in (-1,1)$ , $\tan^{-1} : (-\infty ,0) \rightarrow (\frac{\pi}{2} ,\pi )$ のとき

方程式 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin \left( \dfrac{\pi}{4} +\sum_{l=2}^{n} \tan^{-1} \dfrac{1}{1-l} \right) \prod_{k=2}^{n} \dfrac{x}{k} \sqrt{k^{2}-2k+2}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ をと( º дº)<ｷｴｪｪｪｴｴｪｪｪ

2018-04-26

計算機のアルゴリズム上のコンパクト化

lobiでの解説。

minecraftで計算機を制作する事を目的としています。

アルゴリズムの観点からどういった高速化･コンパクト化(究極を目指すにあたり、同義ともいえる)を施せるかを見ていこうと思いく、アセンブリ言語がわかりやすい為使用する。
ざっくり解説挟みますが、分からない場合は個チャにて聞いてください(ここに貼ると文献の著作権に抵触する恐れがあるので)

アセンブリは、デカい命令が書いてある主記憶装置、演算を行う部分、演算結果を記憶する部分(以下Acc)、の3つに分かれる。命令はadd･subで番地指定した所の値をAccに加えたり引いたり

基本番地が低い所から命令を実行していく。
loadは指定した番地から値を引き出し、Accに上書き。
atoreは指定した番地にAccの値を上書き。
jumpは指定した番地から処理を始める。
jump minusはAccの値が負ならjumpと同じことをする。
本当は無いけど、面倒なのでmultipleとdivideという命令を追加し、それぞれ掛ける、割るの命令としました。

実際に乗除算のアルゴリズムを見ていきます。
乗除算のアルゴリズムなのになんで乗除算の命令が入っとんねん！ってなるかも知れませんが、

10進数で100を掛ける事は左に2回数字をずらし、0を付け加える操作と等価なのでまぁ書いてます。
あと除算はマシンの性能を規定して、一定の桁以下は切り捨てするとします。

図を見よ。

f:id:AkaGhef:20180426070302j:image

部分剰余や、部分和は筆算の途中に出てくる数字だなと思えばいいです(ニコッ)
乗算の都合上、除算は非回復型になるんですが、本筋と関係ないのでポイっ。
BとIを入れ替えたような構図になっています。これがパイプライン化(あとで話す)と組み合わさり、演算クロック(演算を行うリズム)をずらすだけで乗除算を切り替える事ができます。

実装の観点の高速化はまだワイがゴミクズでまだ出来てないので、完成したらちゃんと解説出そうと思います。数式バンバン出ます(笑)

パイプラインってこれのことだな(言い忘れた)
「Minecraft」の攻略「Minecraft 装置開発所＋雑談」での「赤げふ」の投稿「ｹﾞﾆｷ理論(仮)の講義～パ...」 | Lobi

あとstopはstopするって事です(おい

一旦解説打ち切りです
衒学的ですいませんでしたm(*_ _)m