赤げふの数学

数学・物理・微分の高校生 赤げふのBLOG

D^(2)型Affine Geometric Crystal

 


こんにちはヽ(^0^)ノ

https://arxiv.org/pdf/math/0512657.pdf

 


アフィン型幾何結晶(geometric crystal)のこの論文を読んでいたら、微分作用素表示が出せそうと思ったので計算したら公式を発見・導出できたので紹介します。今回はD_{n+1}^{(2)}型です。

論文にある写像eは幾何結晶として要請からリー群の作用とみなせてパラメータ微分の計算をタラタラすると得られました。derivative representationと言う名前を見かけたので使っていますが、この対象を微分作用素の環の元として表示するモチベはあまり無いっぽいですね(?)

\begin{align}e_0=\dfrac{x_0^2-x_1y_1}{x_0^2+x_1y_1}x_0 \dfrac{\partial}{\partial x_0} -\dfrac{2x_1y_1}{x_0^2+x_1y_1}\left(x_n \dfrac{\partial}{\partial x_n}+\sum_{k=1}^{n-1}x_k\dfrac{\partial}{\partial x_k}+y_k\dfrac{\partial}{\partial y_k}\right)\end{align}

\begin{align}e_i=\dfrac{y_i}{x_iy_i+x_{i+1}y_{i+1}}\left(x_i^2\dfrac{\partial}{\partial x_i}+x_{i+1}y_{i+1}\dfrac{\partial}{\partial y_i}\right)\ \ \ \ (1≦i≦n-2)\end{align}

\begin{align}e_{n-1}=\dfrac{y_{n-1}}{x_{n-1}y_{n-1}+x_n^2}\left(x_{n-1}^2\dfrac{\partial}{\partial x_{n-1}}+x_n^2\dfrac{\partial}{\partial y_{n-1}}\right)\end{align}

\begin{align}e_n=x_n\dfrac{\partial}{\partial x_n}\end{align}

D^{(1)}_{n+1}型Cartan行列(a_{ij})

\begin{align}a_{ij}=2\ \ \ i=j\end{align}

\begin{align}a_{ij}= -2 \ \ \ (i,j)=(0,1),(n,n-1)\end{align}

\begin{align}a_{ij}=-1 \ \ \ |i-j|=1かつ(i,j)≠(0,1),(n,n-1)\end{align}

\begin{align}a_{ij}=0\ \ \ \rm{otherwise} \end{align}

このとき次のVerma関係式が成立する(c,d∈ℂ^×)

\begin{align}a_{ij}=0⇒c^{e_i}d^{e_j}=d^{e_j}c^{e_i}\end{align}

\begin{align}a_{ij}=-1⇒c^{e_i}(cd)^{e_j}d^{e_i}=d^{e_j}(cd)^{e_i}c^{e_j}\end{align}

\begin{align}a_{ij}=-2⇒c^{e_i} (c^2d)^{e_j} (cd)^{e_i} d^{e_j}=d^{e_j} (cd)^{e_i} (c^2d)^{e_j} c^{e_i}\end{align}

次の等式も要請されます(m=0,1,\ldots,n)

\begin{align}c^{e_m}d^{e_m}=(cd)^{e_m}\end{align}

 


c^{e_i}の作用は以下の通りです。

f=f\dbinom{x_0,x_1,x_2\ldots ,x_{n-1},x_n}{y_1,y_2,\ldots y_{n-1}}T_0=\dfrac{c^2x_0^2+x_1y_1}{c^2(x_0^2+x_1y_1)}T_i=\dfrac{cx_iy_i+x_{i+1}y_{i+1}}{x_iy_i+x_{i+1}y_{i+1}}(i≠0,n-1,n)T_{n-1}=\dfrac{cx_{n-1}y_{n-1}+x_{n}^2}{x_{n-1}y_{n-1}+x_n^2}

\begin{align}c^{e_0}・f=f\dbinom{x_0cT_0,x_1T_0,x_2T_0\ldots,x_{n-1}T_0,x_nT_0}{y_1T_0^{-1},y_2T_0^{-1},\ldots,y_{n-1}T_0^{-1}}\end{align}

\begin{align}c^{e_i}・f=f\dbinom{x_0,x_1,\ldots,x_iT_i,\ldots,x_n}{y_1,\ldots,y_{i}cT_i^{-1},\ldots,y_{n-1}}\end{align}

\begin{align}c^{e_{n-1}}・f=f\dbinom{x_0,x_1,\ldots,x_{n-1}T_{n-1},x_n}{y_1,\ldots,y_{n-1}cT_{n-1}^{-1}}\end{align}

\begin{align}c^{e_n}・f=f\dbinom{x_0,x_1,\ldots,x_{n-1},cx_n}{y_1,\ldots,y_{n-1}}\end{align}

 


前回と記事の構成ほぼ同じですゴメンなさい(Dynkin図形似てるので)

C_n^1型アフィン幾何結晶の微分作用素表示

 


こんにちはヽ(^0^)ノ

https://arxiv.org/pdf/math/0512657.pdf


アフィン型幾何結晶(geometric crystal)のこの論文を読んでいたら、微分作用素表示が出せそうと思ったので計算したら公式を発見・導出できたので紹介します。今回はC_n^{(1)}型です。
論文にある写像eは幾何結晶として要請からリー群の作用とみなせてパラメータ微分の計算をタラタラすると得られました。derivative representationと言う名前を見かけたので使っていますが、この対象を微分作用素の環の元として表示するモチベはあまり無いっぽいですね(?)
\begin{align}e_0=\dfrac{x_0-x_1y_1}{x_0+x_1y_1}x_0 \dfrac{\partial}{\partial x_0} -\dfrac{x_1y_1}{x_0+x_1y_1}\left(2x_n \dfrac{\partial}{\partial x_n}+\sum_{k=1}^{n-1}x_k\dfrac{\partial}{\partial x_k}+y_k\dfrac{\partial}{\partial y_k}\right)\end{align}
\begin{align}e_i=\dfrac{y_i}{x_iy_i+x_{i+1}y_{i+1}}\left(x_i^2\dfrac{\partial}{\partial x_i}+x_{i+1}y_{i+1}\dfrac{\partial}{\partial y_i}\right)\ \ \ \ (1≦i≦n-2)\end{align}
\begin{align}e_{n-1}=\dfrac{y_{n-1}}{x_{n-1}y_{n-1}+x_n}\left(x_{n-1}^2\dfrac{\partial}{\partial x_{n-1}}+x_n\dfrac{\partial}{\partial y_{n-1}}\right)\end{align}
\begin{align}e_n=x_n\dfrac{\partial}{\partial x_n}\end{align}
C^{(1)}_n型Cartan行列(a_{ij})

\begin{align}a_{ij}=2\ \ \ i=j\end{align}
\begin{align}a_{ij}= -2 \ \ \ (i,j)=(1,0),(n-1,n)\end{align}
\begin{align}a_{ij}=-1 \ \ \ |i-j|=1かつ(i,j)≠(1,0),(n-1,n)\end{align}
\begin{align}a_{ij}=0\ \ \ \rm{otherwise} \end{align}
このとき次のVerma関係式が成立する(c,d∈ℂ^×)
\begin{align}a_{ij}=0⇒c^{e_i}d^{e_j}=d^{e_j}c^{e_i}\end{align}
\begin{align}a_{ij}=-1⇒c^{e_i}(cd)^{e_j}d^{e_i}=d^{e_j}(cd)^{e_i}c^{e_j}\end{align}
\begin{align}a_{ij}=-2⇒c^{e_i} (c^2d)^{e_j} (cd)^{e_i} d^{e_j}=d^{e_j} (cd)^{e_i} (c^2d)^{e_j} c^{e_i}\end{align}

次の等式も要請されます(m=0,1,\ldots,n)

\begin{align}c^{e_m}d^{e_m}=(cd)^{e_m}\end{align}

このような系があります。


\begin{align}φ(x):=\dfrac{z}{yz+x}\left(y^2\dfrac{\partial}{\partial y}+x\dfrac{\partial}{\partial z}\right),c,d∈ℂ^×\end{align}
\begin{align}c^{φ(d^{-1})}d^{φ(c)}=d^{φ(c^{-1})}c^{φ(d)}=(cd)^{φ(1)}\end{align}

 

Minecraft Redstone Decimal Carry Cancel Adder(part1)

 

こんにちはー(・ω・*)ノノ

計算機を制作していたのですが、cloneミスで計算機が吹っ飛んだり度重なるクラッシュで戦意喪失したので解説を投げて私の受験が終わるまで制作を中断しようと思います(;´д`)

基礎的な論理回路と2進数の加算器は既知として説明しますが、他何か不詳な点あれば説明を足すので指摘ください!

作り方は最後の方にあります。

 

タイトルのCarry Cancel Adder(CCA)とは外国人のMajic氏が開発した2進数加算器(binary adder)であり、2進数14bitの加算が繰り上がり(carry)の遅延が無いという凄すぎる技術を天才すぎるアイデアで実現したものである。元動画リンク:

youtu.be

 

しかし、5年経った今でも知名度が低いのが現状である。私は丁度3年前にこの2進数の加算器を10進数の連続加算器(decimal loop adder)にかなり時間をかけて改良し、加算を何回も出来るようにした。CCA(Carry Cancel Adder)の説明をした後、連続加算器があれば乗除算を高速かつ同じマシンで出来るようになる方法があるので紹介したい次第である。最終的には三角関数計算機の解説を目標とする。便宜上数式を使うが、実際の理解としては感覚に近いと思う。

 

信号強度半加算器

信号強度加算器では信号強度とデータの値を対応させて、コンパレータの減算モードを何個か用いて計算するもので、2進数と半加算器が2つ並んで全加算器を構成し、全加算器が加算器を構成していることと似ている。

コンパレータ減算モードの挙動は、背面,側面の入力,出力をそれぞれa,b,cとしてc=R(a-b)と表される。

ここでRはRamp関数でありR(x)=x(x≧0),R(x)=0(\rm{それ以外のとき} )

0≦a,b≦9の整数の加算について見ていく。

a+b≦9のときa+b=9-(9-b-a)となるが、値の範囲を確かめれば

a+b=R(9-R(R(9-b)-a))となることが確認出来ると思う。

a+b≧10のとき1の位の値はa+b-10=a-(10-b)なので

a+b-10=R(a-R(9-b))-1で表せる。2つの数式を見比べると、共通してR(9-b)という部分が含まれているので、ここから回路を小型化できそうだと私は昔閃いた。R(x-y)の形をコンパレータ減算モードだと思えば、数式に従って次のように回路が実現できる。(-1は強度1減衰と考える)

[図2]

f:id:AkaGhef:20200608074744p:image

 

この回路は下位からの繰り上がりを考慮していないので半加算器と呼ぶ。2進数の場合は半加算器を2つ並べて、ある桁の入力a,b,下位からの入力C^iからその桁の出力O,上位桁への繰り上がり出力C^oを出力する全加算器を構成している。10進数の場合は全加算器は半加算器1つと、C^iを考えた+1,+0の操作をする部分に分かれる。

 CCA 繰り上がり計算機構

ここからがCCAの枢要たる部分だが、12桁程度の加算では全てのC^iを各桁のa,bから瞬時に計算できるのである。加算の筆算では下位桁から順に計算するように、加算する桁数に比例して計算に時間がかかるので、全体の計算時間のネックとなるのでここを高速化する必要がある。アイデアは冒頭で挙げたリンク先から得たもので、加算器の理論を後から知ったのでそれを加えて解説していこうと思う。下位から第k桁目のa,b,C^i,C^o値をそれぞれA_k,B_k,C_k^i,C_k^oと書く。

 現実の々加算器には高速化の手段としてCarry Look Aheadがありその中にPG信号という理論がある。繰り上がりがどう上位の桁に影響を及ぼすかを見るために、各桁について"propagate"か"generate"という概念を定める。N進法(N=2,10で十分)の加算で、A_k+B_k=N-1であるとき、第k桁はpropagate状態、(P)という。また、A_k+B_k≧Nのとき、generate状態、(G)という。本解説では便宜をはかって、(P)でも(G)でもないとき、cancel状態、(Cc)と呼ぶことにする。(P)、(G)、(Cc)は排反(2つが同時に起こり得ることは無い)で、いずれかひとつの状態である。足し算の筆算を書きまくって確かめて欲しいが、具体例を1つ書いた。

[図4]

f:id:AkaGhef:20200606024845j:image

 

 

CCAでは2本の信号強度の配線の強度の大小関係でC^i_kを決定しており、ワイヤーと大小関係を比較するコンパレータしかいらないので上位桁にもほぼ遅延無く情報が届き即座にC^iの決定ができる。第k+1桁が(P)であるときC^o_k=C^i_{k+2}が成り立つが、まさに第k桁の繰り上がり出力が第k+1桁をそのまま伝搬(propagate)し、第k+2桁に入力されている。(G)は繰り上がりが発生(generate)すること意味し、(P)が続く限り伝搬し続ける。ここまでは現実の理論体型と同じだが、繰り上がりが発生しない(Cc)のときは「(P)が続く限り繰り上がりを阻止(cancel)する波が伝搬する」と捉えることで2本目の信号強度配線を導入したのである(私はそれまで1本だったので驚いた)。マイクラで回路を作成する際、(P)の伝搬は上位への一方通行であることに注意して、下の[図6]のように半blockを使って整流して下位に信号が流れないようにする(開発者の発想が天才すぎて泣く)

 

 

[図4]のように階段状の図を描き、(G)側の赤色のグラフと、(Cc)側の水色のグラフを規則に従って書いている。赤色のが水色より上側のときC^i=1で、逆ならばC^i=0である。グラフの縦軸は信号強度を指し示しており、強度の大小関係をコンパレータで決定してC^iを出力する。グラフの規則は、(G)があったときは赤色を上限値まで上げて、(Cc)があったときは水色を上限まで上げる。(P)であるとき(黄色矢印)は信号強度配線には何もせず、赤色と水色両方を1段階減衰させるが、大小関係は保存されている。

  以上がC^i決定の流れである。半加算器をベースに、(P)、(G)、(Cc)のどれであるかを決定する回路を見ていく。E_k=R(R(9-B_k)-A_k)F_k=R(A_k-R(9-B_k))としたときに、

「k桁目が(P)」\Leftrightarrow E_k=F_k=0

「k桁目が(G)」\Leftrightarrow F_k≧1

「k桁目が(Cc) 」\Leftrightarrow E_k≧1

となることを[図4]を見て確かめてみてほしい。

1以上か0であるかはリピーターやトーチで簡単に判定できるし、(P)はNOR回路である。CCAの機構をE,Fを用いて回路にするとこうなる。

[図6]

f:id:AkaGhef:20200607154501j:image

 

f:id:AkaGhef:20200607154506j:image

 

信号強度全加算器

最後のステップである加算結果を出力する回路について見てく。

Eは(Cc)のときの加算結果を計算する回路に使える、つまり繰り上がり入力をC^i=0,1としたとき

(Cc)\Rightarrow O=R(R(10-R(1-C^i))-E)

である。Fは(G)のときの加算結果を計算する回路に使える、つまり

(G)\Rightarrow O=R(F-R(1-C^i))

(P)のときはめんどくさいことが起きる。k桁目が(P)のとき半加算器の出力は9で、C_k^i=0ならばO_k=9だがC_k^i=1ならばO_k=0となるので、信号強度にC^iを足し引きしてOを計算するわけには行かない。だから別途配線を用意する必要がある。

[図8]

f:id:AkaGhef:20200608083130j:image

実際のマイクラの回路は上のようになる。(めんどくさいので)連続加算器の画像をそのまま使っているが、加算器も連続加算器も仕組みはほぼ同じで、加算結果OがそのままAに繋がれて代入されているという違いだけである。[HA]は半加算器、[C]はCCAの繰り上がりの計算機構、Bが入力、[R]はリセットの配線、[I]はB9-Bにする回路で、桁毎に何層も積み重なっている計算機の1桁分(2マス)だけ切り出してきた断面の画像である。さっきの[HA]でE,Fを計算し、(G)の繰り上がり計算部分は[図4]の階段のグラフの赤色と同じで、信号強度配線に繋がっている。(Cc)の繰り上がり計算のための信号強度配線は同じように水色である。(G)のときの加算結果はピンク色で、(Cc)のときは黄色、(P)のときは橙色の矢印で書いている。黄色破線は、E,Fどちらの値を半加算器の出力として使うかを決定するものである。

[図8]の橙色破線は、(P)の時のOを出力する部分のE,Fからの入力で、E=F=C^i=0のときはO=9を出力するようになっている。[C]の部分からC^iが出力され、(P)以外のときは水色の丸の部分で半加算器の値とC^iからOを計算している。[R]はリセットの配線で、Aの値を0にするが、ここの部分の回路だけ非同期なのでパイプライン処理出来ない。 

パイプライン演算

パイプライン演算は計算機においてかなり重要な概念であるのでここで説明しておきたい。ループ式の計算回路で、信号を回路内で何周もさせて計算する際、信号の辿るルートによって遅延が異なる場合は周回する毎に遅延が拡大していき周回するうちに1周回遅れて前の信号と干渉してしまう。このためループ計算の回路において、「信号が回路を1周回して戻るときの遅延量は経路によらず等しい」という強い条件「同期」が必要となる。ここではループ計算において同期を定義したが、一般に信号の入力から出力までの遅延量が経路によらず等しければ同期式回路である。

同期式のループ回路において時刻毎に処理が独立していて、1rstick毎に違う信号を入力したとき何個もの計算をほぼ同時にやることが可能で、これをパイプライン処理と言う。信号が波形を崩さずに配線を伝搬していく様子が波に見えることから特にウェーブパイプラインと呼ばれる。マイクラの場合で注意すべきだが、遅延2のリピーターに1rstickパルスが入力された時に2rstickのパルスが出力されて前の時刻の信号と干渉してしまうため1tick毎に違う処理を行う際は2rstick遅延のリピーターは使用できないという制約が追加される。ウェーブ型以外もあって、遅延量が一定でない場合一旦バッファという領域に信号を保存し回路全体の時刻調整をする"クロック"の制御のもとで同時に情報を次の処理領域に渡したりする。

補数による減算

減算は補数の概念を使えば驚くほど楽に加算器上に実現できることが知られている。今回は信号強度加算器が主題なので、10進数N桁の整数x,y \lt 10^{N}の補数の計算から減算x-yを行う方法を考える。まず答えが正になる場合について見ることにし、yの10^nの位をy_nと書くとy=\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1}10^{n}y_nと表せる。\overline{y}_k=9-y_kとし、さらに\bar{y}=\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1}10^n \overline{y}_nと定義する。yの補数とは\overline{y}+1であり簡単な計算から

 \displaystyle \overline{y}=10^N-y-1=(\underbrace{99\cdots 9}_{9がN個}-y)と分かる。

x-y=x+(\underbrace{99\cdots 9}_{9がN個}-y)+1-10^Nとなり、下位N桁には影響が及ばないので10^Nを無視すると、x+\overline{y}+1という「足し算」を計算すればいいことになる。ここでyから\overline{y}を求めるには各桁で独立にy_kから\overline{y}_kを求めればいいので、すぐに求められる。

また、+1の部分は加算器の最下位桁の繰り上がり入力C_1^iが空いているので、ここから入力すれば良い(インクリメントをここで使うのか!と、最初知ったときは仰天した)

この加算を行うと、無視した10^Nの分があるので答えが正のとき必ず最上位桁の繰り上がりが起こる(C_{N+1}^i=1)

e.g.) 512-128\rightarrow 512+871+1=1384\rightarrow 512-128=384

 

逆に減算結果が負ならば最上位桁の繰り上がりが起こらずC_{N+1}^i=0となるので、負になったかどうか判別できる。しかし減算結果の数字を出力するには絶対値を出力しなければならないので、加算結果の補数を見る必要がある(丁寧な説明が困難なので具体的な計算手順をみて掴んでください)

e.g.)128-512→ 128+487+1=\underline{0}616\rightarrow \overline{616}+1=383+1=384

\rightarrow 128-512=-384

一応数式を載せると、|x-y|=-(x-y)=10^N-(x+\overline{y}+1-10^N)-10^N=\overline{x+\overline{y}+1}+1

しかし減算器単体として運用する場合は、加算結果の補数を求める際に+1(インクリメント)をしなければならず面倒なので連続加算器であることを利用した2つの解決方法を述べる。\overline{y}yの補数反転と呼ぶことにする(元々補数は2進数の概念で、補数を求める時は各桁でNOTゲートを通す、つまりbit反転すればよい)

ひとまず+1なしで加算を計算しx+\overline{y}の加算でC^i_{N+1}=1ならば+1をして出力、C^i_{N+1}=0ならば

補数反転を計算して出力する(\overline{x+\overline{y}})

114-514\rightarrow 114+485=\underline{0}599→114-514=-\overline{599}=-400

514-114\rightarrow 514+885=\underline{1}399→514-114=399+1=400

連続加算器なのでオーバーフローしなければ連続減算も可能で、引く時は減数の補数を加えると良いが、第2の方法としては総和結果が負になる場合、1を引く、すなわち補数である\underbrace{99\cdots 9}_{9がN個}を加えてから、出力を補数反転させてやると絶対値が出る

e.g.)137-343-729→(137+656+1)-729→0794+270+1=1065

065+999=1064→(\rm{answer})=-\overline{064}=-935

 

私の計算機は当初から乗除算を前提として設計された為、加減算を同じマシンでできるようにしている。x+yx-yは補数にしてから足すかの違いなので、1つの入力で切り替えられるようにしている。それが[図8]における[I]の役割であり、(J)の部分で加算か減算かを制御している。(J)がonなら減算するモードになる。

 

最後に連続加算器全体の構造と作り方を見ていく。[図8]では少し説明を端折ったが[図12]のように加算器は下位桁から上位桁に向かって下側から左右交互ジグザグに桁が配置されていて(偶数桁目は右側という感じで)、CCAの機構を最大限活かして限界である10進数13桁(14もギリギリ)の構成になっている。ただこの加算器を2個上下に重ねて下側の加算器の最上位の繰り上がりのところを上側の加算器の最下位桁の繰り上がり入力に繋げれば2倍の桁数の加算器が作れる。また、交互に重ねずに2highずつ重ねていくと高さは半分で桁数が半分の7桁、横の長さが半分の連続加算器も作れる(ちと時間が無くて作れないので今は画像が無い )

[K]は入力Bをコア内に入力するかどうか決める配線で、[M]はシフトレジスタ(メモリ)、[S]はシフトする部分

 

出力する機構が少し面倒で、信号が内部を流れているのでF側の配線から信号取り出す必要がある。

B99\cdots 9を代入する、またはB=0の状態で(J)をonにすると補数反転されて99\cdots 9が代入される。そうすると[図8]のようにピンク色の配線にAの強度の信号が流れるので、[output]と書いた部分から信号を取り出す。

[図10]

f:id:AkaGhef:20200608083140j:image

[図12]

f:id:AkaGhef:20200606222322j:image

各層は2highの厚さで、左右交互に桁が積み重なっているので、線対称な直線で切った[図14]を左右交互に積み重ねるようにして、cloneコマンドを実行すると13桁の計算機が出来上がる。1桁分に必要な回路の部分は[図8]の仕組みを理解していれば分かるだろう。

赤色の部分は乗除機を作る上で上から下に信号を送る必要があるのでそこの部分だけは螺旋状にワイヤーを設置する([図15]参照)

[図14]

 

f:id:AkaGhef:20200609233430j:image

 

[図15]

f:id:AkaGhef:20200609233444p:image

 

 

なお、最下層は減算のインクリメントを配置する必要があるので最下層のC_1^iの回路は以下のようにつくる。(修正箇所は青で囲ったところのみ)

[図16]

f:id:AkaGhef:20200607154738p:image

 

上で解説した方法は2〜15進数の信号強度にも一般化できるが、16進数は少し仕組みが違う。

Minecraft計算機解説part1はここまでです!

この計算機は構想から実現まで2ヶ月かかってて、半加算器とかCCAの繰り上がり機構を何度も組み替えて百通り以上の組み合わせを試して見た結果、うまく乗除算に使える10進数最速(0.6tick周期)連続加算器がやっとできました。橙色の配線を見れば分かりますが強度上限15ギリギリで配線が繋がっていて、この理論上最速の計算機が存在すること自体が奇跡的な気がします(他の数十の組み合わせは多分うまくいかないので)

かなり苦しかったですが実現できた時の感動は忘れられません(´;ω;`)

ちなみに、私はモチベが尽きたので作ってませんでしたが加算だけなら、やくみさんが16進数0.6tick周期のを実現しています。

part2は乗除算、part3はCORDICとsin計算機の解説にしようと思います。

読んで頂きありがとうございました〜ヽ('∀'*)ノ

Kac-Moody代数の疑問

こんにちは

 

自分でもまだ整理が済んでない部分がありますが、自分の思いついた概念(多分既出)がどう出てくるのか知りたいので書きました

Kac-Moody代数:

f:id:AkaGhef:20200415131635p:plain



Weyl代数:有限N=|Λ|、ベクトル変数x=(x_λ)_{λ∈Λ}、\partial_λ =\frac{\partial}{\partial x_λ},有限次多項式p_v ∈ℂ[x|]

有限部分集合A⊂ℤ_{≧0}^N,\nabla=(\partial_λ)
(多重指数)ベクトルy=(y_λ),v=(v_λ)∈Aに対してy^v=\prod_{λ∈Λ}y_{λ}^{v_λ}
Weyl代数を以下のように表されるもの全体の集合とする:
 \displaystyle \sum_{v∈A}p_v (x)\nabla^{v}

行列単位E_{ij},交換子括弧[X,Y]=XY-YX,kronecker 's\ δ

[E_{ab},E_{cd}]=δ_{bc}E_{ad}-δ_{ad}E_{cb}が成立するが
[\partial_i ,x_j]=δ_{ij}より、E_{ij}\cong x_i ∂_jと同一視できる。すなわち
[x_a ∂_b,x_c ∂_d] =δ_{bc}x_a ∂_d-δ_{ad}x_c ∂_b
と書ける。Kac-Moody代数をの生成元がある行列と対応するが、この同一視によってWeyl代数の元にKac-Moody代数を埋め込め、どの項も∂の次数は1である。例えばC型のカルタン行列では次のようなリー同型が取れる:
\begin{align}e_k=\partial_k x_{k+1},f_k =x_k ∂_{k+1},h_k=-x_k ∂_k +x_{k+1}\partial_{k+1}(1≦k\lt N)\end{align}
\begin{align}e_N =2x_0 ∂_N - x_{N+1}∂_0,f_N=x_N ∂_0-2x_0 ∂_{N+1}\end{align}
\begin{align}h_N=-2x_N ∂_N+2x_{N+1}∂_{N+1}\end{align}
この埋め込みに関して自分で導きましたが全く情報がないので、
あれば知りたいのです。
そして本題。行列による表示だと分かりませんが、2階微分作用素への埋め込みも存在する。例えばB型のカルタン行列に対し次の同型が取れる:

\begin{align}e_k=\partial_k x_{k+1},f_k =x_k ∂_{k+1},h_k=-x_k ∂_k +x_{k+1}\partial_{k+1}(1≦k\lt N)\end{align}
\begin{align}e_N=\frac{1}{2}∂_{N}^{2},f_N=\frac{1}{2}x_N^2,h_N=x_N ∂_N+\frac{1}{2}\end{align}

(証明は忙しいので省きます...)
D型も2階の微分を使って表せます。1階の微分だと接空間として考えられますが、2階微分だと一般論はあるんでしょうか??
例外型EFGでも1階の微分では書けますが、2階微分はどうなのか1番知りたいです!

メビウス変換の微分作用素表示

こんにちは~(*`・ω・´*)ノ 無自覚にも、もう高3になってしまいました。数式blog始めたのは中3からで、自分で発見した数学を載せ続けられているのは嬉しいです。

関数へのPSL_{2}作用(メビウス変換)について話します。

[定理]

fを無限回微分可能な関数、\partial=\frac{d}{dx}、ad-bc=1、d\neq 0とする。このとき \begin{align}e^{-cd^{-1}(x^2 \partial+λx)}d^{-2x\partial +λ}e^{bd^{-1} \partial}・f(x)=(cx+d)^{λ} f\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)\end{align}

 

証明

[補題1]並進変換 e^{a \frac{d}{dx}}・f(x)=f(x+a)

証明:http://akaghef.hateblo.jp/entry/2017/11/10/192508

オワリ

 

[補題2]\begin{align}\exp (f'(x)+\partial) =\exp(f(x+1)-f(x))\exp \partial\end{align} 証明:線形代数固有値の話を思い出すと良い。

任意のk∈ℂについて関数\exp(kx-f(x))上記の作用素固有値e^{k}の固有関数であり、線形独立なので関数全体を張る基底となる。実際

\begin{align}(f'(x)+\partial)・exp(kx-f(x))\\
&=(f'(x)+(k-f'(x))\exp (kx-f(x))\\
&=k\exp (kx-f(x))\end{align}

であるからf'(x)+\partial固有値kの関数なので(左辺)の固有値e^{k}

一方[補題1]より

\begin{align}(右辺)・\exp (kx-f(x))\\
&=\exp (f(x+1)-f(x)) \exp(kx+k-f(x+1))\\
&=e^{k}\exp (kx-f(x))\end{align}

なので固有値e^{k}です。

固有値と固有関数の一致が取れたので作用素は等しいです。 オワリ

 

補題2は割と有能ですが全く見かけないのなんででしょうね(BCH公式の系でもあります)

微分作用素は合成関数の公式で変数変換をすることができます:

\dfrac{d}{dx^{-1}}=-x^{2}\dfrac{d}{dx}

\dfrac{d}{d\log x}=x\dfrac{d}{dx}

です。 ここまで来ればスムーズに定理を証明できます。

z=\dfrac{d}{cx}として

\begin{align}&\exp -cd^{-1}(x^2 \partial+λx)\exp(-\log (d) (2x\partial -λ))\exp(bd^{-1} \partial)・f(x)\\
&=d^λ\exp -cd^{-1}(x^2 \partial+λx)\exp(-2\log (d) \dfrac{\partial}{\partial \log x} )・f(\exp (\log x)+bd^{-1})(補 題1)\\
&=d^λ \exp -cd^{-1}(x^2 \partial+λx)・f(\exp (\log x -2\log d)+bd^{-1})(補 題1)\\
&=d^{λ}\exp \left(\dfrac{\partial}{\partial z}+λz^{-1}\right)・f(d^{-2}x+bd^{-1} )\\
&=d^{λ}\exp (λ\log (z+1)-λ\log z)\exp\left(cd^{-1}\frac{\partial}{\partial x^{-1}}\right) ・f\left(\dfrac{1}{d^2}\dfrac{1}{x^{-1}}+\frac{b}{d}\right)( 補 題2)\\
&=d^{λ}\left(\dfrac{z+1}{z}\right)^{λ}f\left(\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{x(1+bc)+bd}{cx+d}\right) \right)\\
&=(cx+d)^{λ} f\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)\end{align}

最後はad-bc=1を用いました。

オワリ

メビウス変換はPSL₂行列と同型な構造を持ちます:

2次行列M=(a,b;c,d)について作用素Aを

\begin{align}A_λ(M)・f(x)=(cx+d)^{λ} f\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)\end{align}

と定義すると、行列がM_1M_2 =M_3のとき作用素の合成として \begin{align}A_λ(M_1)A_λ(M_2)=A_λ(M_3)\end{align}

と成立します(暇つぶしに証明できると思います)

またA_λ(1,0;0,1)=1も成立。 定理は次と同様の形をしている事が見て取れると思います。 https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d403484a19b08a14eb693cb9f93606ca5fa7239

 

これはリー群の話を学ぶと理解出来て、行列のUDL分解(上下三角と対角の分解)を表しています。そしてなぜ行列が作用素と対応するかと言うと

E=-x^2∂+λx,F=∂,H=2x∂-λ

リー環sl_2構造を成し、交換子積[A,B]=AB-BAについて

関係式[E,F] =H,[H,E]=2E,[F,H] =2Fを満たしますが、

E=(0,1;0,0),F=(0,0;1,0),H=(-1,0;0,1)

と定義しても同様の関係式を満たすからなのです。

このsl2の微分作用素表現はλ=0のとき射影平面の正則ベクトル場を貼り、

メビウス変換の生成子になっています。

今回はexpでリー環からリー群に具体的に対応させた公式になっています。

局所的な感じで、こんな公式もあります。

 

またPSL_2 ℤ固有関数についてみると保型形式が出現します。

akaghef.hateblo.jp

今回は1変数で証明しましたが、行列変数の公式に書き換えると

Siegel保型形式も今回と同様な形で書き表せます。

 

どうだったでしょうか〜? 公式は自分で発見しましたが、

微分形式の意味づけが出来るとしってもっと学びたいなと思いました。結果的に理解につながったので良いですが、数学はあまり具体的な計算に興味ないんですかね?

最初の方はわかりやすくしたつもりなので、分かって頂けたら幸いです(*’ω’*)

では(。・ω・)ノ゙

鏡映群と微分作用素とDunkl作用素

(新)こんにちは〜ドス( *・ω・)ノ クリスマスが近づいて来ましたのでそれにまつわる話をしようと思いました!!どす!! Dunkl作用素(1989年導入)はナブラ演算子の鏡映群的対称性を取り入れた性質の良い一般化どす。定義は参考webサイト読めば大体掴めるどす。Coxeter群Gに付随する既約ルート系(Lie環論の文脈とは定義違うどす)R上のR乗法的関数\mu :R\rightarrow \mathbb{C}、即ちルートu,v(をそれにより定まる鏡映\sigma_u,\sigma_vと同一視したもの)がGで共役ならば\mu (u)=\mu (v)を満たすR^{n}上の関数\mu を固定するどす。x=(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbb{C}^{n},\nabla =\left(\dfrac{\partial}{\partial x_1},\cdots,\dfrac{\partial}{\partial x_n}\right) =(\partial_1,\cdots,\partial_n)R_+Rの正ルートどす(単純ルートと勘違いしてて修正忘れてました。ごめんなさい)

\mathbb{C}^n上正則関数fに作用するDunkl作用素の定義式は、 \begin{align}\mathfrak{D}=\nabla +\sum_{v\in R_+} \mu (v)\dfrac{1-\cos \pi (x・v)(\nabla ・v)/v^2}{x・v}v\end{align} どす。 各成分について見てみると \begin{align}\mathfrak{D}_j f(x)= \dfrac{\partial f(x)}{\partial x_j}+\sum_{v\in R_+} \mu (v)\dfrac{f(x)-\cos (\pi (x・v)(\nabla ・v)/|v|^2)f(x)}{x・v}v_j\end{align} となるどす。この作用素の素晴らしい点としてラプラシアンが自然に定義できる、即ち可換性\mathfrak{D}_j \mathfrak{D}_k=\mathfrak{D}_k \mathfrak{D}_jが成立するどす。1番単純な例ではf(x)\mapsto f'(x)+\alpha\dfrac{f(x)-f(-x)}{x}

f(x,y)\mapsto \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}+\alpha\dfrac{f(x,y)-f(x,-y)}{y},\dfrac{\partial f}{\partial y}+\beta\dfrac{f(x,y)-f(-x,y)}{x}\right)など。なおvによる鏡映の関数への作用\sigma_v f(x)=f(\sigma_v x)について \begin{align}σ_v=\cos \pi (x・v)(\nabla ・v)/v^2\end{align} なる公式が成立するどす。私はこの公式の真に驚くべき一目でわかる証明を発見したどすが、余白が2次元どす...。 【証明】 もう1次元y軸を追加すると正規直交座標(x_1,\cdots,x_n,y)\in \mathbb{C}^{n+1}でのx_k,y平面の\theta回転作用素\mathcal{R}_{k}(\theta ):g(x_k,y)\mapsto g(x_k \cos\theta -y\sin\theta,x_k\sin\theta +y\cos\theta)は以前記事に書いたLie代数の関係式をLie群SO(2)の公式(まだ記事化してないどす、過去記事の実数回Fourier変換の関係式と見比べてくださいどす)として使うことで \begin{align}\mathcal{R}_k (\theta)=e^{\theta (y\partial_k -x_k \partial_y)}\end{align} とできるどす(物理人なら回転の演算子で伝わるはずどす)。よって \begin{align}\left(\begin{array}{}v\\
0\end{array}\right) =\mathcal{R}_n(\theta_n)\cdots \mathcal{R}_1(\theta_1)\left(\begin{array}{l}0\\
0\\
\vdots\\
0\\
r\end{array}\right) =\left(\begin{array}{l}r\sin\theta_1\\
r\cos\theta_1 \sin\theta_2\\
\vdots\\
r\cos\theta_1 \cdots \cos\theta_{n-1}\sin\theta_n\\
r\cos\theta_1 \cdots \cos\theta_{n-1}\cos\theta_n\end{array}\right)\end{align} と極座標表示できるどす。以前から何回も言ってる公式より\partial_y=\dfrac{\partial}{\partial y}として \begin{align}\cos\pi y\partial_y ・(0,\cdots,0,y)=(0,\cdots ,0,-y)\end{align} となるどす。v\mathcal{R}を使って回転させてy軸上に持っていけば、y軸に垂直な原点を通る超平面(線形空間\mathbb{C}^{n}、厳密に言えば\mathbb{R}^{n}どすが....)についての対称変換は\cos\pi y\partial_yとかけるので元の位置に戻す動作をすると鏡映変換の微分作用素表示ができることが昨日わかったどす!! Heisenberg群の交換関係をじっくり見るとad(z)g(\partial_z)を"微分"する、即ちad(z)・g(\partial_z)=-g'(\partial_z)を満たすので、 \begin{align}\mathcal{R}_k (\theta)g(\partial_k,\partial_y)\mathcal{R}_k(\theta)^{-1}=g(\partial_k \cos\theta +\partial_y \sin\theta,-\partial_z \sin\theta +\partial_y \cos\theta)\end{align} どす(論理飛躍)、回転作用素z,\partial_zの反対称性を見てみてどす。 結局v\mathbb{C}^{n+1}のルート(v,0)に対応させる単射によって鏡映変換は \begin{align}σ_{v}=&\mathcal{R}_n(\theta_n) \cdots \mathcal{R}_1 (\theta_1)\cos\pi y\partial_y (\mathcal{R}_n (\theta_n)\cdots\mathcal{R}_1(\theta_1))^{-1}\\
=&(\mathcal{R}_n(\theta_n) \cdots \mathcal{R}_2(\theta_2))\cos\pi (\mathcal{R}_1(\theta_1)y\partial_y \mathcal{R}_1(\theta)^{-1})(\mathcal{R}_n (\theta_n)\cdots\mathcal{R}_2(\theta_2))^{-1}\\
=&(\mathcal{R}_n(\theta_n) \cdots \mathcal{R}_2(\theta_2))\cos\pi (-x_1\sin\theta_1+y\cos\theta_1)(\partial_1\sin\theta_1 +\partial_y\cos\theta_1 )(\mathcal{R}_n (\theta_n)\cdots\mathcal{R}_2(\theta_2))^{-1}\\
&\vdots\\
=&\cos \pi (-x_1 \sin\theta_1 -x_2 \cos\theta_1 \sin\theta_2 \cdots -x_n \cos\theta_1 \cdots \cos\theta_{n-1}\sin\theta_n+y\cos\theta_1\cdots \cos\theta_n)\\
&×(\partial_1 \sin\theta_1 +\cdots +\partial_n \cos\theta_1 \cdots \cos\theta_{n-1}\sin\theta_n +\partial_y \cos\theta_1 \cdots \cos\theta_n)\\
=&\cos \pi (x_1 r\sin\theta_1 +\cdots +x_{n-1}r\cos\theta_1 \cdots \cos\theta_{n-1}\sin\theta_n+x_nr\cos\theta_1 \cdots \cos\theta_n)\\
&×(\partial_1 r\sin\theta_1 +\cdots +\partial_n r\cos\theta_1 \cdots \cos\theta_n)/r^2\\
=&\cos\pi (x・v)(\nabla ・v)/v^2\end{align} と書けるどす。途中、\mathbb{C}^{n+1}内でy座標が0なので\theta_n=\pi/2r=|v|となることを用いたどす。 Q.E.D ところで鏡映は対合(2回すると元に戻る性質)なので \begin{align}\cos 2\pi (x・v)(\nabla ・v)/v^2=1\end{align} という恒等式が成立するどす。 鏡映群はとても興味深い対象であるので、対称群を含んでいたり分類の議論を適用したり生成元を考えたりなど色々な偏微分の関係式が得られるどす。Dunkl作用素はその一端であり、最先端の研究に通じているどす。 忙しいのでこの辺の考察はまた今度どす。

鏡映はこれを参考にしましたどす

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/17S/20170413.pdf

見ていただきありがとうございますどす

調和振動子の微分作用素表示

こんばんは〜〜〜( *・ω・)ノ 微分作用素の関係式を量子力学にどう応用させていくか話して、自分のフーリエ変換微分作用素の考察が量子調和振動子に応用できることを発見したので紹介します!!

 

\mathcal{1234567890} 

   この記事はこれを聴きながら書いてます(たけのこさん的な)

soundcloud.com

量子力学の知識については、参考にしたpdf等を参照してくださいまし

説明が拙なかったりおかしな点があると思いますが、どんどんご指摘頂けると有難いです。

忙しいため厳密な導入を避けてます。

今回は前野昌弘さんのpdfをちまちま参照してます

リンク①http://kscalar.kj.yamagata-u.ac.jp/~endo/kougi/QFT/QFT2013.pdf

 

演算子について

量子力学では系の時間発展について、系の状態と状態を観測という物理的操作により決定できる性質「Observable」の両方に分けて考えることができます。 オブザーバブルを固定し状態の変化だけを見る手法がSchrödinger描像と呼ばれ数学的には通常の等号で表された複素関数のパラメータの変化が時間発展と見ることができます。

他方時間発展について、オブザーバブルを動かし、状態を固定させる手法がHeisenberg描像と呼ばれていて、数学的には演算子のパラメータを変化させてることになります。状態は波動関数という正則な関数の形で表され、正則性という強い条件から可算無限次元ベクトルのような形で表すことができます。基底は状況次第ってかんじで、周期変化が見られるような場合は直交関数系である三角関数系で展開したり、直線に近似できる場合などは冪級数展開として表すことができるでしょう。

狭義に物理演算子は、関数間の写像のことであり波動関数への演算子の作用の様子から系を記述するのです。主観ですが、関数よりも演算子の方が自由度が高く、状態ベクトルの基底が原因の発散の存在を考慮する必要が無いためハイゼンベルク描像の方がSchrödinger描像より普遍理論的に扱いやすいものと言えます。しかし実際の解析には両者の中間のDirac描像が便利で、演算子と関数の両者の変形を考えることになります。波動関数が無限次元なので線形な演算子も無限次元行列として一般に表されますが、解析的には微分作用素など性質のいい無限次元線形ものを扱うことになるでしょう。

量子力学の黎明期は一般論として無限次元行列を考えましたが、調和振動子等の「解ける」仕組みを持った方程式はあとでみるがとある有限次元行列のなす群と同じ構造を持っていて、無限次元の得体のしれない何かが対称性によって有限次元の構造に帰着できるってことです!!

このような仕組みは表現論的に面白いと小林俊之先生が言っているのを見ました。他の色々な方程式系で公式を見ていきたいところですが、私はまだ調和振動子より難しいものは成功できてません。

 

調和振動子

 

 

調和振動子の本質はLie環sl_2 構造の微分作用素表示にある。 以下はsl2のSegal-Shale-Weil表現と呼ばれていて以前記事で紹介している 交換子積を[A,B]=AB-BAと定義し、性質は以下の通り。 \begin{align}\end{align} \begin{align}\mathcal{D}&:=\dfrac{d}{dz}\\
E_+ &:=\dfrac{i}{2}z^2 \\
E_- &:=\dfrac{i}{2}\mathcal{D}^2\\
E_0 &:=z\mathcal{D}+\dfrac{1}{2}\\
sl_2&\cong \mathbb{C}E_0\oplus \mathbb{C}E_+ \oplus \mathbb{C}E_-\\
[E_+,E_-]&=E_0\\
[E_0,E_+]&=2E_+\\
[E_-,E_0]&=2E_-\end{align} この\mathbb{C}代数が交換子積で閉じていて、2×2行列と以下のように対応する(おなじ交換関係が成立する) \begin{align}E_0\leftrightarrow \left(\begin{array}{}1&0\\
0&-1\end{array}\right)\\
E_+\leftrightarrow \left(\begin{array}{}0&1\\
0&0\end{array}\right)\\
E_- \leftrightarrow \left(\begin{array}{}0&0\\
1&0\end{array}\right)\\
\end{align} つまり固有値0の2次行列に交換子積の乗法を定めたLie環となります

 

 

 

調和振動子は古典的なバネ運動の量子力学でのモデルで、バネにとどまらずポテンシャル関数の位置xの0,1次の項を平行移動等で消した時に近似として2次の項だけを考えることもあるので色々顔をだします。

系のエネルギー全体を体現するハミルトニアン演算子

\begin{align}\mathcal{H}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\mathcal{D}^2+\dfrac{1}{2}k\mathcal{X}^2\end{align}

で与えられる。kは"バネ定数"であり演算子はすべて花文字フォントで 位置演算子\mathcal{X}・g(x)=xg(x)微分演算子\mathcal{D}・g(x)=\dfrac{d}{dx}・g(x)=g'(x)と書いている。

時間の乗算作用素と時間微分も同様に\mathcal{T},\mathcal{D}_tと書きます

Heisenberg描像で話を進めるので、演算子の時間発展について述べてきます

何回かblogで言ってるように\exp h\mathcal{D}は位置をシフトさせる並進演算子

リンク②http://akaghef.hateblo.jp/entry/2019/10/05/233745

それと同様に\exp t\mathcal{D}_tが時間を経過させる演算子となります

ただし、位置演算子微分作用素を掛け合わせただけでは、"位置演算子微分"することはできないので、随伴作用ad(\mathcal{A)・B=[ A,B}]と定めるとad(\mathcal{D})・g(\mathcal{X})=g'(\mathcal{X})となります

ad(\mathcal{D})が"位置演算子微分"はワケワカメなのでただの関数g(z)導関数g'(z)z=\mathcal{X}を代入したと考えれば良い。時間に依存する演算子\mathcal{G}(t)の時間発展は

\exp (t-t_0)ad(\mathcal{D}_t)・\mathcal{G}(t_0) と表せる。Lie環の簡単な計算で、Ad(\mathcal{A})・\mathcal{B}=\mathcal{ABA}^{-1}と定めると

\exp ad(\mathcal{A})=Ad(\exp \mathcal{A})となるので

\begin{align}\mathcal{G}(t)=e^{(t-t_0)\mathcal{D}_t}\mathcal{G}(t_0)e^{-(t-t_0)\mathcal{D}_t}\end{align}

となります。時間に依存するSchrödinger方程式

\begin{align}i\hbar \mathcal{D}_t・|\psi (t)\rangle =\mathcal{H}・|\psi(t)\rangle\end{align}

にてHeisenberg描像を考えるので波動関数|\psi (t)\rangleを固定して考えて、\mathcal{H}が時間で不変であることから

\begin{align}\mathcal{D}_t\equiv \dfrac{1}{i\hbar}\mathcal{H}\end{align}

となります

ここで\equivは"方程式の解である波動関数に作用させる場合において両辺の作用の結果が等しい" という同値関係である。厳密に作用素がイコールなわけではないので一般の関数に作用させると異なる結果になるので注意。Hamiltonが時間不変なので

\begin{align}e^{t\mathcal{D}_t}\equiv e^{\frac{t}{i\hbar}\mathcal{H}}\end{align}

となります。すなわち

\begin{align}|\psi(t)\rangle =e^{\frac{t-t_0}{i\hbar}\mathcal{H}}・|\psi(t_0)\rangle\end{align}

が成り立ちます。演算子 \begin{align}e^{i(t-t_0)(\frac{i\hbar}{2m}\mathcal{D}^2-\frac{i}{2\hbar}k\mathcal{X}^2)}\end{align} をみただけでは調和振動子が周期性を持っているという情報は分からず参考にした文献ではあくまで"形式的"な物で計算に使えないとありますが、SL_2構造を持っていることによって周期性を明示する形に持って行けるということに私は気づきました!! その道具は既にここで説明しています

リンク③http://akaghef.hateblo.jp/entry/2019/10/13/112929

 

◆定理◆ \begin{align}\displaystyle e^{i\theta(\nabla^2-X^2)}=e^{-\frac{i}{2}X^2\tan\theta}e^{\frac{i}{2}\nabla^2\sin 2\theta}e^{-\frac{i}{2}X^2\tan\theta}\end{align}

 

\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}},\beta=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}},t_0=0としてリンク②の道具を組み合わせて使うと

 

\begin{align}&e^{-i\hbar^{-1}\mathcal{H}}\\
=&\beta^{-\mathcal{XD}}e^{\frac{i}{2}\omega t(\mathcal{D}^2-\mathcal{X}^2}\beta^{\mathcal{XD}}\\
=&\beta^{-\mathcal{XD}}e^{-\frac{i}{2}\mathcal{X}^2 \tan\frac{1}{2}\omega t}e^{\frac{i}{2}\mathcal{D}^2\sin\omega t}e^{-\frac{i}{2}\mathcal{X}^2 \tan\frac{1}{2}\omega t}\beta^{\mathcal{XD}}\\
=&e^{\dfrac{\sqrt{mk}}{2i\hbar}\mathcal{X}^2 \tan\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m}}t}e^{\dfrac{i\hbar}{2\sqrt{mk}}\mathcal{D}^2 \sin \sqrt{\dfrac{k}{m}}t}e^{\dfrac{\sqrt{mk}}{2i\hbar}\mathcal{X}^2 \tan\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m}}t}\end{align}

 

調和振動子の時間発展◆ \begin{align}| \psi(t)\rangle=e^{\frac{m\omega}{2i\hbar}\mathcal{X}^2 \tan\frac{1}{2}\omega t}e^{\frac{i\hbar}{2m\omega}\mathcal{D}^2 \sin \omega t}e^{\frac{m\omega}{2i\hbar}\mathcal{X}^2 \tan\frac{1}{2}\omega t}・|\psi(0)\rangle\end{align}

 

と計算が出来ました!明らかに\cos zは周期2\piの関数なので周期2\pi /\omega角速度\omegaで単振動していることが演算子からわかります!!

つまり調和振動子の時間発展は実数回Fourier変換なのです!

私は積分表示から加法性を示したり交換関係から実数回Fourier変換の公式を導きましたが、Hermite関数基底の無限次元ℂ線型空間の線型変換の行列成分を求めて成分から指数関数表示を出すのもあるのでアプローチが色々あります

微分作用素を使えば群論的対称性がよく分かるので良い。単振動なので「回転」なる要素があるが、実際に実数回フーリエ変換が特殊直交群SO(2)構造を持つことはリンク③にかいた通りです。

物理的には調和振動子の運動量と位置が位相が\pi /2ずれた状態で楕円上を周期振動していく事実は有名ですが量子論では状態量の確率密度関数を導き出す手段として次のように演算子的に捉えることができます:

運動量演算子\mathcal{P}=-i\hbar \mathcal{D}と定義され、位置演算子と混合した演算子

\begin{align}\beta \mathcal{G}(u,v) &=\beta \beta^{-ad(\mathcal{XD})}・(u\mathcal{X}-v\hbar^{-1}\mathcal{P})\\
&=u\mathcal{X}-\dfrac{i\hbar v}{\sqrt{mk}}\mathcal{D}\end{align}

を考えて\mathcal{G}(u,v)\leftrightarrow \binom{u}{v} \in \mathbb{C}^2と同一視して考えるとリンク③より

\begin{align}Ad\left( e^{-i\hbar^{-1} \theta \mathcal{H}}\right)・\mathcal{G}(u,v)=\mathcal{G}(u\cos\theta -v\sin\theta ,u\sin\theta +v\cos\theta )\end{align}

が成立します(ただし角\theta =\omega t)よって同型

\begin{align}Ad\left(e^{-i(\hbar\omega) ^{-1} \theta \mathcal{H}}\right) \leftrightarrow \left(\begin{array}{}\cos\theta &-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta \end{array}\right) \in SO(2)\end{align} が作れるんですねーー! 運動量と位置の相空間をGauss平面と同一視してSO(2)の表現空間として調和振動子の状態に時間発展のユニタリ演算子が作用しているわけです。

むりやりリンク③に帰着して考えるために拡縮変換して楕円を円にして考えましたが、関数にSO(2)作用を与える実数回フーリエ変換の一般化であるLinearCanonicalTransform(これは特殊線形群SL_2 \mathbb{C}同型)を考えれば、そのコンパクト不可算無限部分群と任意の調和振動子の状態を一対一対応させて考えることができます(いつか記事に書きたい)

ここでt=2\pi /\omegaのときはすべての状態が元に戻るので、他の表示で計算してやると \begin{align}e^{i\pi ad(\frac{\hbar}{m\omega}\mathcal{D}^2-\frac{m\omega}{\hbar}\mathcal{X}^2)} =1\end{align} となりker\ ad=\mathbb{C}x=\beta zと置換してやるとリンク③で導出した恒等式

 

恒等式 \begin{align}e^{2\pi i(\frac{d^2}{dz^2}-z^2)} =1\end{align}

 

が成立します!つまりこの公式は、調和振動子が"振動"するという事実を表してるのです!!! Eulerの公式に似た(表現論的には同じと思える)この公式は私が好きな恒等式No1です!(\partial,i,\pi,e勢揃いですので) ちなみに2番目は正規化積 \begin{align}"\infty !=\sqrt{2\pi}"\end{align} です

 

生成消滅演算子

 

話を変えて調和振動子の生成消滅演算子について話していこうと思う。詳しくはリンク①を見て欲しいが次のように生成(下)消滅(上)演算子を定義します(本来は小文字\hat{a}で書くべきだが統一することにする):

\begin{align}\mathcal{A}=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\mathcal{X}+i\sqrt{\dfrac{1}{2\omega m\hbar}}\mathcal{P}\end{align} \begin{align}\mathcal{A}^{\dagger}=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\mathcal{X}-i\sqrt{\dfrac{1}{2\omega m\hbar}}\mathcal{P}\end{align}

こいつは離散化された調和振動子のエネルギー準位間の関係性を与える演算子で粒子数を上下させるかんじ。

交換関係 \begin{align}[\mathcal{A,A^{\dagger}}]=1\end{align} をみたし、Hamiltonを因数分解(?)する:

\begin{align}\mathcal{H}=\hbar \omega (\mathcal{N}+\frac{1}{2})=\hbar \omega (\mathcal{A^{\dagger}A}+\frac{1}{2})\end{align}

\mathcal{N}は個数演算子と呼ばれていて作用させると波動関数固有値として粒子数が出てくる便利なやつで、調和振動子のエネルギーE_n=\hbar \omega (n+\frac{1}{2})に対応する波動関数|n\rangleとして

\begin{align}\mathcal{A}・|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle\end{align} \begin{align}\mathcal{A}^{\dagger}・|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle\end{align} \begin{align}\mathcal{N}・|n\rangle=n|n\rangle\end{align}

という具合に生成消滅が演算子の性質に組み込まれています

\mathcal{A}^{\dagger}を何回も作用させれば真空状態から始めて任意のエネルギーの状態を作れて、これらの線型結合で状態を近似する方法はテイラー展開を想起させます

 

ところで生成消滅演算子は本質的に位置・運動量演算子1/2フーリエ変換である!

 

....は??? 私はこの事実を発見してからも、物理的にどう解釈すればいいかずっと悩んでいる。実際数式的に見ると先程の演算子\mathcal{G}について(\sqrt{i},0)(0,-\sqrt{i})(\sqrt{\ }偏角[ 0,\pi)で定める)を1/2フーリエ変換すると\pi/4回転することから

\begin{align}\mathcal{A}=i^{-\frac{1}{2}\mathcal{XD}}\mathcal{G}(\sqrt{\frac{i}{2}},\sqrt{\frac{i}{2}})i^{\frac{1}{2}\mathcal{XD}}\end{align} \begin{align}\mathcal{A}^{\dagger}=i^{-\frac{1}{2}\mathcal{XD}}\mathcal{G}(\sqrt{\frac{i}{2}},-\sqrt{\frac{i}{2}})i^{\frac{1}{2}\mathcal{XD}}\end{align}

 

という具合である。複素数の随伴を掛けているのでもはやSO(2)からSU(2)に切り替わっているが、1/2回フーリエ変換と言える。元の表示を考えると

\begin{align}\mathcal{A}=Ad\left(e^{-\frac{\pi\hbar }{8m\omega}\mathcal{D}^2-\frac{\pi m\omega}{8\hbar}\mathcal{X}^2}\right)・\mathcal{G}(\sqrt{i},0)\end{align} \begin{align}\mathcal{A}^{\dagger}=Ad\left(e^{\frac{\pi\hbar }{8m\omega}\mathcal{D}^2+\frac{\pi m\omega}{8\hbar}\mathcal{X}^2}\right)・\mathcal{G}(\sqrt{i},0)\end{align}

となります!位置演算子を随伴作用で変換した事になるので、運動量と位置の正凖交換関係[\mathcal{X,P}] =-i\hbarを随伴作用で変換してやると生成消滅演算子の正凖交換関係[\mathcal{A,A^{\dagger}}]=1に化けると解釈できます

また位置演算子の冪級数、すなわちTaylor展開をこの随伴作用で変換してやると調和振動子の無限個の合成と見なせて、Taylor展開との類似性を説明できるのです!!

 

 

どうだったでしょうか?? 物理学面白すぎて死にそうです。発見の後日、物理に詳しい方と話をしていて論文に上で書いたようなことが載ってるのがあったそうです(有料でしたので入手できませんでした)

新たな算法にしてはHermite多項式の公式を覚える必要がなく微分作用素の交換関係さえ覚えていれば、三角関数のように図的に実数回Fourier変換はすぐ導出できるので有用だと思うんですが、中々知名度が低いのでもっと広がればなぁーと思います(特に理論系で) 新発見ではなかったので少し残念ですが、次こそは未発見の概念を!!と思って精進しますm(*_ _)m

1/2回フーリエ変換の謎についても何らかのコメント頂けると有難いです

次は一般次元Hankel変換の記事を書いていこうかなと思ってます。

読んで頂きありがとうございました!