赤げふの数学

数学・物理・微分の高校生 赤げふのBLOG

鏡映群と微分作用素とDunkl作用素

(新)こんにちは〜ドス( *・ω・)ノ クリスマスが近づいて来ましたのでそれにまつわる話をしようと思いました!!どす!! Dunkl作用素(1989年導入)はナブラ演算子の鏡映群的対称性を取り入れた性質の良い一般化どす。定義は参考webサイト読めば大体掴めるどす。Coxeter群Gに付随する既約ルート系(Lie環論の文脈とは定義違うどす)R上のR乗法的関数\mu :R\rightarrow \mathbb{C}、即ちルートu,v(をそれにより定まる鏡映\sigma_u,\sigma_vと同一視したもの)がGで共役ならば\mu (u)=\mu (v)を満たすR^{n}上の関数\mu を固定するどす。x=(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbb{C}^{n},\nabla =\left(\dfrac{\partial}{\partial x_1},\cdots,\dfrac{\partial}{\partial x_n}\right) =(\partial_1,\cdots,\partial_n)R_+Rの正ルートどす(単純ルートと勘違いしてて修正忘れてました。ごめんなさい)

\mathbb{C}^n上正則関数fに作用するDunkl作用素の定義式は、 \begin{align}\mathfrak{D}=\nabla +\sum_{v\in R_+} \mu (v)\dfrac{1-\cos \pi (x・v)(\nabla ・v)/v^2}{x・v}v\end{align} どす。 各成分について見てみると \begin{align}\mathfrak{D}_j f(x)= \dfrac{\partial f(x)}{\partial x_j}+\sum_{v\in R_+} \mu (v)\dfrac{f(x)-\cos (\pi (x・v)(\nabla ・v)/|v|^2)f(x)}{x・v}v_j\end{align} となるどす。この作用素の素晴らしい点としてラプラシアンが自然に定義できる、即ち可換性\mathfrak{D}_j \mathfrak{D}_k=\mathfrak{D}_k \mathfrak{D}_jが成立するどす。1番単純な例ではf(x)\mapsto f'(x)+\alpha\dfrac{f(x)-f(-x)}{x}

f(x,y)\mapsto \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}+\alpha\dfrac{f(x,y)-f(x,-y)}{y},\dfrac{\partial f}{\partial y}+\beta\dfrac{f(x,y)-f(-x,y)}{x}\right)など。なおvによる鏡映の関数への作用\sigma_v f(x)=f(\sigma_v x)について \begin{align}σ_v=\cos \pi (x・v)(\nabla ・v)/v^2\end{align} なる公式が成立するどす。私はこの公式の真に驚くべき一目でわかる証明を発見したどすが、余白が2次元どす...。 【証明】 もう1次元y軸を追加すると正規直交座標(x_1,\cdots,x_n,y)\in \mathbb{C}^{n+1}でのx_k,y平面の\theta回転作用素\mathcal{R}_{k}(\theta ):g(x_k,y)\mapsto g(x_k \cos\theta -y\sin\theta,x_k\sin\theta +y\cos\theta)は以前記事に書いたLie代数の関係式をLie群SO(2)の公式(まだ記事化してないどす、過去記事の実数回Fourier変換の関係式と見比べてくださいどす)として使うことで \begin{align}\mathcal{R}_k (\theta)=e^{\theta (y\partial_k -x_k \partial_y)}\end{align} とできるどす(物理人なら回転の演算子で伝わるはずどす)。よって \begin{align}\left(\begin{array}{}v\\
0\end{array}\right) =\mathcal{R}_n(\theta_n)\cdots \mathcal{R}_1(\theta_1)\left(\begin{array}{l}0\\
0\\
\vdots\\
0\\
r\end{array}\right) =\left(\begin{array}{l}r\sin\theta_1\\
r\cos\theta_1 \sin\theta_2\\
\vdots\\
r\cos\theta_1 \cdots \cos\theta_{n-1}\sin\theta_n\\
r\cos\theta_1 \cdots \cos\theta_{n-1}\cos\theta_n\end{array}\right)\end{align} と極座標表示できるどす。以前から何回も言ってる公式より\partial_y=\dfrac{\partial}{\partial y}として \begin{align}\cos\pi y\partial_y ・(0,\cdots,0,y)=(0,\cdots ,0,-y)\end{align} となるどす。v\mathcal{R}を使って回転させてy軸上に持っていけば、y軸に垂直な原点を通る超平面(線形空間\mathbb{C}^{n}、厳密に言えば\mathbb{R}^{n}どすが....)についての対称変換は\cos\pi y\partial_yとかけるので元の位置に戻す動作をすると鏡映変換の微分作用素表示ができることが昨日わかったどす!! Heisenberg群の交換関係をじっくり見るとad(z)g(\partial_z)を"微分"する、即ちad(z)・g(\partial_z)=-g'(\partial_z)を満たすので、 \begin{align}\mathcal{R}_k (\theta)g(\partial_k,\partial_y)\mathcal{R}_k(\theta)^{-1}=g(\partial_k \cos\theta +\partial_y \sin\theta,-\partial_z \sin\theta +\partial_y \cos\theta)\end{align} どす(論理飛躍)、回転作用素z,\partial_zの反対称性を見てみてどす。 結局v\mathbb{C}^{n+1}のルート(v,0)に対応させる単射によって鏡映変換は \begin{align}σ_{v}=&\mathcal{R}_n(\theta_n) \cdots \mathcal{R}_1 (\theta_1)\cos\pi y\partial_y (\mathcal{R}_n (\theta_n)\cdots\mathcal{R}_1(\theta_1))^{-1}\\
=&(\mathcal{R}_n(\theta_n) \cdots \mathcal{R}_2(\theta_2))\cos\pi (\mathcal{R}_1(\theta_1)y\partial_y \mathcal{R}_1(\theta)^{-1})(\mathcal{R}_n (\theta_n)\cdots\mathcal{R}_2(\theta_2))^{-1}\\
=&(\mathcal{R}_n(\theta_n) \cdots \mathcal{R}_2(\theta_2))\cos\pi (-x_1\sin\theta_1+y\cos\theta_1)(\partial_1\sin\theta_1 +\partial_y\cos\theta_1 )(\mathcal{R}_n (\theta_n)\cdots\mathcal{R}_2(\theta_2))^{-1}\\
&\vdots\\
=&\cos \pi (-x_1 \sin\theta_1 -x_2 \cos\theta_1 \sin\theta_2 \cdots -x_n \cos\theta_1 \cdots \cos\theta_{n-1}\sin\theta_n+y\cos\theta_1\cdots \cos\theta_n)\\
&×(\partial_1 \sin\theta_1 +\cdots +\partial_n \cos\theta_1 \cdots \cos\theta_{n-1}\sin\theta_n +\partial_y \cos\theta_1 \cdots \cos\theta_n)\\
=&\cos \pi (x_1 r\sin\theta_1 +\cdots +x_{n-1}r\cos\theta_1 \cdots \cos\theta_{n-1}\sin\theta_n+x_nr\cos\theta_1 \cdots \cos\theta_n)\\
&×(\partial_1 r\sin\theta_1 +\cdots +\partial_n r\cos\theta_1 \cdots \cos\theta_n)/r^2\\
=&\cos\pi (x・v)(\nabla ・v)/v^2\end{align} と書けるどす。途中、\mathbb{C}^{n+1}内でy座標が0なので\theta_n=\pi/2r=|v|となることを用いたどす。 Q.E.D ところで鏡映は対合(2回すると元に戻る性質)なので \begin{align}\cos 2\pi (x・v)(\nabla ・v)/v^2=1\end{align} という恒等式が成立するどす。 鏡映群はとても興味深い対象であるので、対称群を含んでいたり分類の議論を適用したり生成元を考えたりなど色々な偏微分の関係式が得られるどす。Dunkl作用素はその一端であり、最先端の研究に通じているどす。 忙しいのでこの辺の考察はまた今度どす。

鏡映はこれを参考にしましたどす

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/17S/20170413.pdf

見ていただきありがとうございますどす

調和振動子の微分作用素表示

こんばんは〜〜〜( *・ω・)ノ 微分作用素の関係式を量子力学にどう応用させていくか話して、自分のフーリエ変換微分作用素の考察が量子調和振動子に応用できることを発見したので紹介します!!

 

\mathcal{1234567890} 

   この記事はこれを聴きながら書いてます(たけのこさん的な)

soundcloud.com

量子力学の知識については、参考にしたpdf等を参照してくださいまし

説明が拙なかったりおかしな点があると思いますが、どんどんご指摘頂けると有難いです。

忙しいため厳密な導入を避けてます。

今回は前野昌弘さんのpdfをちまちま参照してます

リンク①http://kscalar.kj.yamagata-u.ac.jp/~endo/kougi/QFT/QFT2013.pdf

 

演算子について

量子力学では系の時間発展について、系の状態と状態を観測という物理的操作により決定できる性質「Observable」の両方に分けて考えることができます。 オブザーバブルを固定し状態の変化だけを見る手法がSchrödinger描像と呼ばれ数学的には通常の等号で表された複素関数のパラメータの変化が時間発展と見ることができます。

他方時間発展について、オブザーバブルを動かし、状態を固定させる手法がHeisenberg描像と呼ばれていて、数学的には演算子のパラメータを変化させてることになります。状態は波動関数という正則な関数の形で表され、正則性という強い条件から可算無限次元ベクトルのような形で表すことができます。基底は状況次第ってかんじで、周期変化が見られるような場合は直交関数系である三角関数系で展開したり、直線に近似できる場合などは冪級数展開として表すことができるでしょう。

狭義に物理演算子は、関数間の写像のことであり波動関数への演算子の作用の様子から系を記述するのです。主観ですが、関数よりも演算子の方が自由度が高く、状態ベクトルの基底が原因の発散の存在を考慮する必要が無いためハイゼンベルク描像の方がSchrödinger描像より普遍理論的に扱いやすいものと言えます。しかし実際の解析には両者の中間のDirac描像が便利で、演算子と関数の両者の変形を考えることになります。波動関数が無限次元なので線形な演算子も無限次元行列として一般に表されますが、解析的には微分作用素など性質のいい無限次元線形ものを扱うことになるでしょう。

量子力学の黎明期は一般論として無限次元行列を考えましたが、調和振動子等の「解ける」仕組みを持った方程式はあとでみるがとある有限次元行列のなす群と同じ構造を持っていて、無限次元の得体のしれない何かが対称性によって有限次元の構造に帰着できるってことです!!

このような仕組みは表現論的に面白いと小林俊之先生が言っているのを見ました。他の色々な方程式系で公式を見ていきたいところですが、私はまだ調和振動子より難しいものは成功できてません。

 

調和振動子

 

 

調和振動子の本質はLie環sl_2 構造の微分作用素表示にある。 以下はsl2のSegal-Shale-Weil表現と呼ばれていて以前記事で紹介している 交換子積を[A,B]=AB-BAと定義し、性質は以下の通り。 \begin{align}\end{align} \begin{align}\mathcal{D}&:=\dfrac{d}{dz}\\
E_+ &:=\dfrac{i}{2}z^2 \\
E_- &:=\dfrac{i}{2}\mathcal{D}^2\\
E_0 &:=z\mathcal{D}+\dfrac{1}{2}\\
sl_2&\cong \mathbb{C}E_0\oplus \mathbb{C}E_+ \oplus \mathbb{C}E_-\\
[E_+,E_-]&=E_0\\
[E_0,E_+]&=2E_+\\
[E_-,E_0]&=2E_-\end{align} この\mathbb{C}代数が交換子積で閉じていて、2×2行列と以下のように対応する(おなじ交換関係が成立する) \begin{align}E_0\leftrightarrow \left(\begin{array}{}1&0\\
0&-1\end{array}\right)\\
E_+\leftrightarrow \left(\begin{array}{}0&1\\
0&0\end{array}\right)\\
E_- \leftrightarrow \left(\begin{array}{}0&0\\
1&0\end{array}\right)\\
\end{align} つまり固有値0の2次行列に交換子積の乗法を定めたLie環となります

 

 

 

調和振動子は古典的なバネ運動の量子力学でのモデルで、バネにとどまらずポテンシャル関数の位置xの0,1次の項を平行移動等で消した時に近似として2次の項だけを考えることもあるので色々顔をだします。

系のエネルギー全体を体現するハミルトニアン演算子

\begin{align}\mathcal{H}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\mathcal{D}^2+\dfrac{1}{2}k\mathcal{X}^2\end{align}

で与えられる。kは"バネ定数"であり演算子はすべて花文字フォントで 位置演算子\mathcal{X}・g(x)=xg(x)微分演算子\mathcal{D}・g(x)=\dfrac{d}{dx}・g(x)=g'(x)と書いている。

時間の乗算作用素と時間微分も同様に\mathcal{T},\mathcal{D}_tと書きます

Heisenberg描像で話を進めるので、演算子の時間発展について述べてきます

何回かblogで言ってるように\exp h\mathcal{D}は位置をシフトさせる並進演算子

リンク②http://akaghef.hateblo.jp/entry/2019/10/05/233745

それと同様に\exp t\mathcal{D}_tが時間を経過させる演算子となります

ただし、位置演算子微分作用素を掛け合わせただけでは、"位置演算子微分"することはできないので、随伴作用ad(\mathcal{A)・B=[ A,B}]と定めるとad(\mathcal{D})・g(\mathcal{X})=g'(\mathcal{X})となります

ad(\mathcal{D})が"位置演算子微分"はワケワカメなのでただの関数g(z)導関数g'(z)z=\mathcal{X}を代入したと考えれば良い。時間に依存する演算子\mathcal{G}(t)の時間発展は

\exp (t-t_0)ad(\mathcal{D}_t)・\mathcal{G}(t_0) と表せる。Lie環の簡単な計算で、Ad(\mathcal{A})・\mathcal{B}=\mathcal{ABA}^{-1}と定めると

\exp ad(\mathcal{A})=Ad(\exp \mathcal{A})となるので

\begin{align}\mathcal{G}(t)=e^{(t-t_0)\mathcal{D}_t}\mathcal{G}(t_0)e^{-(t-t_0)\mathcal{D}_t}\end{align}

となります。時間に依存するSchrödinger方程式

\begin{align}i\hbar \mathcal{D}_t・|\psi (t)\rangle =\mathcal{H}・|\psi(t)\rangle\end{align}

にてHeisenberg描像を考えるので波動関数|\psi (t)\rangleを固定して考えて、\mathcal{H}が時間で不変であることから

\begin{align}\mathcal{D}_t\equiv \dfrac{1}{i\hbar}\mathcal{H}\end{align}

となります

ここで\equivは"方程式の解である波動関数に作用させる場合において両辺の作用の結果が等しい" という同値関係である。厳密に作用素がイコールなわけではないので一般の関数に作用させると異なる結果になるので注意。Hamiltonが時間不変なので

\begin{align}e^{t\mathcal{D}_t}\equiv e^{\frac{t}{i\hbar}\mathcal{H}}\end{align}

となります。すなわち

\begin{align}|\psi(t)\rangle =e^{\frac{t-t_0}{i\hbar}\mathcal{H}}・|\psi(t_0)\rangle\end{align}

が成り立ちます。演算子 \begin{align}e^{i(t-t_0)(\frac{i\hbar}{2m}\mathcal{D}^2-\frac{i}{2\hbar}k\mathcal{X}^2)}\end{align} をみただけでは調和振動子が周期性を持っているという情報は分からず参考にした文献ではあくまで"形式的"な物で計算に使えないとありますが、SL_2構造を持っていることによって周期性を明示する形に持って行けるということに私は気づきました!! その道具は既にここで説明しています

リンク③http://akaghef.hateblo.jp/entry/2019/10/13/112929

 

◆定理◆ \begin{align}\displaystyle e^{i\theta(\nabla^2-X^2)}=e^{-\frac{i}{2}X^2\tan\theta}e^{\frac{i}{2}\nabla^2\sin 2\theta}e^{-\frac{i}{2}X^2\tan\theta}\end{align}

 

\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}},\beta=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}},t_0=0としてリンク②の道具を組み合わせて使うと

 

\begin{align}&e^{-i\hbar^{-1}\mathcal{H}}\\
=&\beta^{-\mathcal{XD}}e^{\frac{i}{2}\omega t(\mathcal{D}^2-\mathcal{X}^2}\beta^{\mathcal{XD}}\\
=&\beta^{-\mathcal{XD}}e^{-\frac{i}{2}\mathcal{X}^2 \tan\frac{1}{2}\omega t}e^{\frac{i}{2}\mathcal{D}^2\sin\omega t}e^{-\frac{i}{2}\mathcal{X}^2 \tan\frac{1}{2}\omega t}\beta^{\mathcal{XD}}\\
=&e^{\dfrac{\sqrt{mk}}{2i\hbar}\mathcal{X}^2 \tan\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m}}t}e^{\dfrac{i\hbar}{2\sqrt{mk}}\mathcal{D}^2 \sin \sqrt{\dfrac{k}{m}}t}e^{\dfrac{\sqrt{mk}}{2i\hbar}\mathcal{X}^2 \tan\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m}}t}\end{align}

 

調和振動子の時間発展◆ \begin{align}| \psi(t)\rangle=e^{\frac{m\omega}{2i\hbar}\mathcal{X}^2 \tan\frac{1}{2}\omega t}e^{\frac{i\hbar}{2m\omega}\mathcal{D}^2 \sin \omega t}e^{\frac{m\omega}{2i\hbar}\mathcal{X}^2 \tan\frac{1}{2}\omega t}・|\psi(0)\rangle\end{align}

 

と計算が出来ました!明らかに\cos zは周期2\piの関数なので周期2\pi /\omega角速度\omegaで単振動していることが演算子からわかります!!

つまり調和振動子の時間発展は実数回Fourier変換なのです!

私は積分表示から加法性を示したり交換関係から実数回Fourier変換の公式を導きましたが、Hermite関数基底の無限次元ℂ線型空間の線型変換の行列成分を求めて成分から指数関数表示を出すのもあるのでアプローチが色々あります

微分作用素を使えば群論的対称性がよく分かるので良い。単振動なので「回転」なる要素があるが、実際に実数回フーリエ変換が特殊直交群SO(2)構造を持つことはリンク③にかいた通りです。

物理的には調和振動子の運動量と位置が位相が\pi /2ずれた状態で楕円上を周期振動していく事実は有名ですが量子論では状態量の確率密度関数を導き出す手段として次のように演算子的に捉えることができます:

運動量演算子\mathcal{P}=-i\hbar \mathcal{D}と定義され、位置演算子と混合した演算子

\begin{align}\beta \mathcal{G}(u,v) &=\beta \beta^{-ad(\mathcal{XD})}・(u\mathcal{X}-v\hbar^{-1}\mathcal{P})\\
&=u\mathcal{X}-\dfrac{i\hbar v}{\sqrt{mk}}\mathcal{D}\end{align}

を考えて\mathcal{G}(u,v)\leftrightarrow \binom{u}{v} \in \mathbb{C}^2と同一視して考えるとリンク③より

\begin{align}Ad\left( e^{-i\hbar^{-1} \theta \mathcal{H}}\right)・\mathcal{G}(u,v)=\mathcal{G}(u\cos\theta -v\sin\theta ,u\sin\theta +v\cos\theta )\end{align}

が成立します(ただし角\theta =\omega t)よって同型

\begin{align}Ad\left(e^{-i(\hbar\omega) ^{-1} \theta \mathcal{H}}\right) \leftrightarrow \left(\begin{array}{}\cos\theta &-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta \end{array}\right) \in SO(2)\end{align} が作れるんですねーー! 運動量と位置の相空間をGauss平面と同一視してSO(2)の表現空間として調和振動子の状態に時間発展のユニタリ演算子が作用しているわけです。

むりやりリンク③に帰着して考えるために拡縮変換して楕円を円にして考えましたが、関数にSO(2)作用を与える実数回フーリエ変換の一般化であるLinearCanonicalTransform(これは特殊線形群SL_2 \mathbb{C}同型)を考えれば、そのコンパクト不可算無限部分群と任意の調和振動子の状態を一対一対応させて考えることができます(いつか記事に書きたい)

ここでt=2\pi /\omegaのときはすべての状態が元に戻るので、他の表示で計算してやると \begin{align}e^{i\pi ad(\frac{\hbar}{m\omega}\mathcal{D}^2-\frac{m\omega}{\hbar}\mathcal{X}^2)} =1\end{align} となりker\ ad=\mathbb{C}x=\beta zと置換してやるとリンク③で導出した恒等式

 

恒等式 \begin{align}e^{2\pi i(\frac{d^2}{dz^2}-z^2)} =1\end{align}

 

が成立します!つまりこの公式は、調和振動子が"振動"するという事実を表してるのです!!! Eulerの公式に似た(表現論的には同じと思える)この公式は私が好きな恒等式No1です!(\partial,i,\pi,e勢揃いですので) ちなみに2番目は正規化積 \begin{align}"\infty !=\sqrt{2\pi}"\end{align} です

 

生成消滅演算子

 

話を変えて調和振動子の生成消滅演算子について話していこうと思う。詳しくはリンク①を見て欲しいが次のように生成(下)消滅(上)演算子を定義します(本来は小文字\hat{a}で書くべきだが統一することにする):

\begin{align}\mathcal{A}=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\mathcal{X}+i\sqrt{\dfrac{1}{2\omega m\hbar}}\mathcal{P}\end{align} \begin{align}\mathcal{A}^{\dagger}=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\mathcal{X}-i\sqrt{\dfrac{1}{2\omega m\hbar}}\mathcal{P}\end{align}

こいつは離散化された調和振動子のエネルギー準位間の関係性を与える演算子で粒子数を上下させるかんじ。

交換関係 \begin{align}[\mathcal{A,A^{\dagger}}]=1\end{align} をみたし、Hamiltonを因数分解(?)する:

\begin{align}\mathcal{H}=\hbar \omega (\mathcal{N}+\frac{1}{2})=\hbar \omega (\mathcal{A^{\dagger}A}+\frac{1}{2})\end{align}

\mathcal{N}は個数演算子と呼ばれていて作用させると波動関数固有値として粒子数が出てくる便利なやつで、調和振動子のエネルギーE_n=\hbar \omega (n+\frac{1}{2})に対応する波動関数|n\rangleとして

\begin{align}\mathcal{A}・|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle\end{align} \begin{align}\mathcal{A}^{\dagger}・|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle\end{align} \begin{align}\mathcal{N}・|n\rangle=n|n\rangle\end{align}

という具合に生成消滅が演算子の性質に組み込まれています

\mathcal{A}^{\dagger}を何回も作用させれば真空状態から始めて任意のエネルギーの状態を作れて、これらの線型結合で状態を近似する方法はテイラー展開を想起させます

 

ところで生成消滅演算子は本質的に位置・運動量演算子1/2フーリエ変換である!

 

....は??? 私はこの事実を発見してからも、物理的にどう解釈すればいいかずっと悩んでいる。実際数式的に見ると先程の演算子\mathcal{G}について(\sqrt{i},0)(0,-\sqrt{i})(\sqrt{\ }偏角[ 0,\pi)で定める)を1/2フーリエ変換すると\pi/4回転することから

\begin{align}\mathcal{A}=i^{-\frac{1}{2}\mathcal{XD}}\mathcal{G}(\sqrt{\frac{i}{2}},\sqrt{\frac{i}{2}})i^{\frac{1}{2}\mathcal{XD}}\end{align} \begin{align}\mathcal{A}^{\dagger}=i^{-\frac{1}{2}\mathcal{XD}}\mathcal{G}(\sqrt{\frac{i}{2}},-\sqrt{\frac{i}{2}})i^{\frac{1}{2}\mathcal{XD}}\end{align}

 

という具合である。複素数の随伴を掛けているのでもはやSO(2)からSU(2)に切り替わっているが、1/2回フーリエ変換と言える。元の表示を考えると

\begin{align}\mathcal{A}=Ad\left(e^{-\frac{\pi\hbar }{8m\omega}\mathcal{D}^2-\frac{\pi m\omega}{8\hbar}\mathcal{X}^2}\right)・\mathcal{G}(\sqrt{i},0)\end{align} \begin{align}\mathcal{A}^{\dagger}=Ad\left(e^{\frac{\pi\hbar }{8m\omega}\mathcal{D}^2+\frac{\pi m\omega}{8\hbar}\mathcal{X}^2}\right)・\mathcal{G}(\sqrt{i},0)\end{align}

となります!位置演算子を随伴作用で変換した事になるので、運動量と位置の正凖交換関係[\mathcal{X,P}] =-i\hbarを随伴作用で変換してやると生成消滅演算子の正凖交換関係[\mathcal{A,A^{\dagger}}]=1に化けると解釈できます

また位置演算子の冪級数、すなわちTaylor展開をこの随伴作用で変換してやると調和振動子の無限個の合成と見なせて、Taylor展開との類似性を説明できるのです!!

 

 

どうだったでしょうか?? 物理学面白すぎて死にそうです。発見の後日、物理に詳しい方と話をしていて論文に上で書いたようなことが載ってるのがあったそうです(有料でしたので入手できませんでした)

新たな算法にしてはHermite多項式の公式を覚える必要がなく微分作用素の交換関係さえ覚えていれば、三角関数のように図的に実数回Fourier変換はすぐ導出できるので有用だと思うんですが、中々知名度が低いのでもっと広がればなぁーと思います(特に理論系で) 新発見ではなかったので少し残念ですが、次こそは未発見の概念を!!と思って精進しますm(*_ _)m

1/2回フーリエ変換の謎についても何らかのコメント頂けると有難いです

次は一般次元Hankel変換の記事を書いていこうかなと思ってます。

読んで頂きありがとうございました!

モジュラー形式の作用素的な特徴付け

 

 一般次元Hankel変換の作用素的表現を見ていたらモジュラー形式と全く同じ構造が仕組まれていることに気づきましたので、まとめてみました

\begin{align}\gamma=\left(\begin{array} aa&b\\
c&d\end{array}\right) \in PSL_2 \mathbb{C},\partial=\dfrac{\partial}{\partial x}\end{align}とする。このとき \begin{align}A_k (\gamma^{-1})・f(x)&:=e^{-\frac{c}{d}(x^2\partial +kx)}d^{-2x\partial -k}e^{-\frac{b}{d}\partial}・f(x)\\
&=(cx+d)^{-k} f\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)\end{align} が成立する。よく知られたように、実際計算してみるとA_kは群作用を与える(作用素的には非自明):

\gamma_1,\gamma_2\in PSL_2 \mathbb{C}としたとき

\begin{align}A_k(\gamma_1)A_k(\gamma_2)=A_k(\gamma_1 \gamma_2)\end{align}

\begin{align}A_k(\gamma^{-1})=A_k(\gamma)^{-1}\end{align}

\begin{align}A_k(1_2)=1\end{align}

が成り立ち、また、離散部分群 \begin{align}\Gamma_0(N)=\{\gamma\in PSL_2\mathbb{Z};c\equiv 0 \ \ (mod\ N)\}\end{align} に対して、レベルN、重さkmod\ NのDirichlet指標\chiを保型因子につけたモジュラー形式とは、上半平面\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C};Im\ z>0\}上で正則かつz\rightarrow i\inftyで正則な次の微分方程式の正則関数解である。 \begin{align}\bigcap_{\gamma \in \Gamma_0 (N)}ker(A_k(\gamma)-d^{-\chi})\end{align}

次の乗算作用素J(\gamma^{-1})

\begin{align}J(\gamma^{-1})・f(x):=\dfrac{1}{cx+d} f(x)\end{align}

は保型因子の作用素である:

\begin{align}A_k(\gamma)=J(\gamma)^{k} A_0(\gamma)\end{align}

A_0 (\gamma)は特にMöbius変換作用素として知られている。保型因子の積の公式として

\begin{align}J(\gamma_1 \gamma_2)=J(\gamma_1)A_0 (\gamma_1)J(\gamma_2)A_0(\gamma_1)^{-1}\end{align}

が成立する(J(\gamma^{-1})から定義してるので通常の関数jと少し流儀が異なるので注意)

また微分形式\delta xに対して平行移動とチェインルールから

\begin{align}A_0(\gamma)・\delta x=\delta \dfrac{ax+b}{cx+d}=\delta\dfrac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}=\dfrac{1}{(cx+d)^{2}}\delta x\end{align}

という変換を受けるのでm次元体積要素g(x)\delta x^{m}の変換は

\begin{align}A_0(\gamma)・g(x)\delta x^{m}=\dfrac{\delta x^{m}}{(cx+d)^{2m}}A_0(\gamma)・g(x)=(A_{2m}(\gamma)・g(x))\delta x^{m}\end{align}

となり重さは次元と関係が深いことが分かりました。

対称群の作用と偏微分とLie代数

こんばんは〜(^^)/

対称群の微分作用素による表現を発見して面白かったので記事にしてみました!

\sigma \begin{align}\textbf{x}:=(x_k)_{k=1,\ldots,n} \in \mathbb{C}^n,(\partial_k):=\left(\dfrac{\partial}{\partial x_k}\right)\end{align} j<kについて、\sigma_{jk} ・\textbf{x}:=(x_1,\ldots ,x_{j-1},x_k ,x_{j+1},\ldots ,x_{k-1},x_j,x_{k+1},\ldots )、つまり変数x_j,x_kの置換と定め、対称群\mathfrak{S}_nの互換分解して関数に作用させる作用素\sigma_{jk}・f(\textbf{x}):=f(\sigma_{jk} ・\textbf{x})と定める。 各変数x_kは独立であるとする。このとき

\begin{align}σ_{jk}=e^{i\pi x_k \partial_k}e^{\frac{\pi}{2}(x_j \partial_k -x_k \partial_j)}\end{align} 

が成立する。 [証明概略] Lie代数の元E_0,E_+,E_-で、演算[x,y]=xy-yxについて \begin{align}[E_+,E_-]=E_0\end{align} \begin{align}[E_0,E_+]=2E_+\end{align} \begin{align}[E_-,E_0]=2E_-\end{align} を満たす3組をsl_2 -tripleと呼ぶ。変数x,yについて \begin{align}E_+:=x\partial_y\end{align} \begin{align}E_-:=y\partial_x \end{align} \begin{align}E_0:=x\partial_x -y\partial_y\end{align} と定めるとsl_2 -tripleを成すことが簡単な計算で分かる。なので公式 \begin{align}e^{x\partial_y}e^{-y\partial_x}e^{x\partial_y}=e^{\frac{\pi}{2}(x\partial_y-y\partial_x)}\end{align} が成立する。また \begin{align}e^{a\partial_x}・f(x)=f(x+a)\end{align} \begin{align}b^{x\partial_x}・f(x)=f(bx)\end{align} が成立する。この3つを用いると

\begin{align}&e^{i\pi x_k\partial_k}e^{x_j\partial_k}e^{-x_k\partial_j}e^{x_j\partial_k}・f(x_j,x_k)\\
=&e^{i\pi x_k\partial_k}e^{x_j\partial_k}e^{-x_k\partial_j}・f(x_j,x_k +x_j)\\
=&e^{i\pi x_k\partial_k}e^{x_j\partial_k}・f(x_j-x_k,x_j)\\
=&e^{i\pi x_k\partial_k}・f(-x_k,x_j)\\
=&f(x_k,x_j)\\
=&σ_{jk}・f(\textbf{x})\end{align}

となり、等式が示された。但しx_j,x_k以外の変数は省略してある。一般化して \begin{align}\left(\begin{array}{cc}a&b\\
c&d\end{array}\right) \in SL_2 \mathbb{C}\end{align}について \begin{align}e^{\frac{c}{d}x\partial_y}d^{-x\partial_x +y\partial_y}e^{\frac{b}{d}y\partial_x}・f(x,y)=f(ax+by,cx+dy)\end{align} も成立する。 対称群の微分作用素にLie代数が絡むとは思ってなかった.... 微分作用素の解析も多変数化すると深みを増しそうだ。

[追記]あとから気づいたが、

ベクトル\textbf{x}x_j,x_k平面での角度\phiについて、\frac{\partial}{\partial \phi}=x_j \partial_k-x_k \partial_jが成り立つので、x_j,x_k平面でπ/2回転させる、つまりe^{\frac{\pi}{2}\frac{\partial}{\partial \phi}}を作用させると(x_j,x_k)から(-x_k,x_j)になってe^{i\pi x_k \partial_k}で鏡映変換すると(x_k,x_j)になるから互換が作れるって仕組みになってるんですよね。
んでsl2の公式で分解するとそれが鏡映と並進で書ける。

sl_2 tripleを形成してるので様々な公式が得られる。行列を使って簡潔に表示したsし、解説を省いた公式についても後日徹底的にやりたい。

 

では!

一般化Fourier変換の微分作用素表示

 

こんにちはー( *・ω・)ノ

今日は今回の実数階Fourier変換の微分作用素表示の定理達すべてを自力で発見・証明できたので紹介していきます!

この記事は以下の続きとなっています。記号・概念もソコ参照です。未だな人は是非!

 

★前回迄の記事
 
Fourier変換の微分作用素表示

akaghef.hateblo.jp


[FrFT] Fractional Fourierの積分表示

akaghef.hateblo.jp


[準備] 微分作用素の性質と準備

akaghef.hateblo.jp




 

 いんとろでぅくしゅん

 

N\in \mathbb{N},X=(x_1,x_2,\cdots ,x_N),\nabla =\left(\dfrac{\partial}{\partial x_1},\dfrac{\partial}{\partial x_2} ,\cdots,\dfrac{\partial}{\partial x_N}\right)

\begin{gather} \mathcal{D}=\dfrac{d}{dx} ,X\circ \nabla =X・\nabla +\dfrac{N}{2}\\
\displaystyle \mathcal{F}・g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ixt} g(t) \ dt\end{gather}

 

◆Fractional Fourier変換(FrFT) 積分表示◆  \begin{align}\ \mathcal{F}_{\theta} ・g(x)=\sqrt{\dfrac{1-i\cot\theta}{2\pi}}e^{\frac{i}{2}x^2\cot\theta}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{i}{2}t^2\cot\theta-ixtc sc\theta}g(t)\ dt \end{align}
◆Fourier変換(FT) 微分作用素表示◆   \begin{align}\displaystyle \mathcal{F}=e^{\frac{\pi i}{4} (\mathcal{D}^{2}-x^{2}+1)}\end{align}

 この2つの概念を融合させ、

◆定理 1 FrFTの微分作用素表示◆ \begin{align} e^{\frac{i}{2}\theta(\mathcal{D}^2-x^2+1)}・g(x)=\sqrt{\dfrac{1-i\cot\theta}{2\pi}}e^{\frac{i}{2}x^2\cot\theta}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{i}{2}t^2\cot\theta-ixtc sc\theta}g(t)\ dt \end{align}
◆定理  2   \begin{align}\displaystyle e^{i\theta(\nabla^2-X^2)}=e^{-\frac{i}{2}X^2\tan\theta}e^{\frac{i}{2}\nabla^2\sin 2\theta}e^{-\frac{i}{2}X^2\tan\theta}\end{align}
◆定理  3 \begin{align}e^{\frac{i}{2} \theta (\nabla^2 -X^2)}=e^{-\frac{i}{2}X^2 \tan\theta}\cos^{-X\circ \nabla} \theta e^{\frac{i}{2} \nabla^2 \tan \theta}\end{align} 

 

が成立します!実数階(Fractional)Fourier変換に関しては素性がよく分かるので、微分作用素の交換子的な証明を構成しようと思います。

 

てーり 1 ぷるーふ

補題  \begin{align} \displaystyle Ad(e^{X})・Y=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!}ad(X)^{k}・Y\end{align}

 

これはLie環とLie群をつなぐ関係式である。交換子の簡単な計算から

\begin{gather}\\
[\mathcal{D}^2-x^2+1,x] =2\mathcal{D} \\
[\mathcal{D}^2-x^2+1,\mathcal{D}] =2x\\
\end{gather}

 が成立する。

Fractional Fourier変換(のconjugation作用)は円周\mathcal{S}^{1}の構造を持ち、Eulerの等式の類似が成立する。即ち

\begin{align}& e^{\frac{i}{2}\theta(\mathcal{D}^2-x^2+1)}xe^{-\frac{i}{2}\theta(\mathcal{D}^2-x^2)}\\
=&Ad\left(\frac{i}{2}\theta(\mathcal{D}^2-x^2+1) \right)・x\\
\displaystyle =&\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \left(\dfrac{1}{2}i\theta\right)^{k}ad(\mathcal{D}^2-x^2+1)^{k}・x\\
\displaystyle =& x+\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \left(\dfrac{1}{2}i\theta\right)^{k- 1}(i\theta)ad(\mathcal{D}^2-x^2)^{k- 1}・\mathcal{D}\ \ \  (補 題)\\
\displaystyle =&\cdots \ \ \ \ \ (補 題繰り返し、\mathcal{D}とxが入れ替わる)\\
\displaystyle =&\sum_{k=0,2\mid k}^{\infty} \dfrac{(i\theta)^{k}}{k!} x+\sum_{k=0,2\nmid k}^{\infty} \dfrac{(i\theta)^{k}}{k!}\mathcal{D}\\
=& x\cos\theta +i\mathcal{D}\sin\theta\\
\end{align}

となり、x,\mathcal{D}直交座標系の回転をFourier変換(のconjugation作用)が与えている。全く同様に

\begin{align}e^{\frac{i}{2}\theta(\mathcal{D}^2-x^2+1)}i\mathcal{D}e^{-\frac{i}{2}\theta(\mathcal{D}^2-x^2+1)}=i\mathcal{D}\cos\theta-x\sin\theta \end{align}

が成立する。ここまで交換子の話で、一方積分核表示では(天下り的ですが)

\begin{align}\displaystyle \mathcal{F}_{\theta}x・g(x)=\sqrt{\dfrac{1-i\cot \theta}{2\pi}} e^{\frac{i}{2}x^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2} t^{2}\cot \theta -ixt c sc \theta} tg(t)\ dt\end{align}

一方

\begin{align}\\
&(x\cos\theta \mathcal{F}_{\theta}+i\mathcal{D}\sin\theta \mathcal{F}_{\theta})・g(x)\\
=& \displaystyle \sqrt{\dfrac{1-i\cot \theta}{2\pi}} e^{\frac{i}{2}x^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2} t^{2}\cot \theta -ixt c sc \theta} (x\cos\theta)g(t)\ dt\\
&+ \displaystyle \sqrt{\dfrac{1-i\cot \theta}{2\pi}} e^{\frac{i}{2}x^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2} t^{2}\cot \alpha -ixt c sc \theta} i\sin\theta(ix\cot\theta-ixtc sc\theta)g(t)\ dt\\
\displaystyle =&\sqrt{\dfrac{1-i\cot \theta}{2\pi}} e^{\frac{i}{2}x^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2} t^{2}\cot \theta -ixt c sc \theta} tg(t)\ dt\\
\end{align}

より

\begin{align}\\
\mathcal{F}_{\theta}x\mathcal{F}_{\theta}^{-1}=& x\cos\theta+i\mathcal{D}\sin\theta\\
\mathcal{F}_{\theta}i\mathcal{D}\mathcal{F}_{\theta}^{-1}=& i\mathcal{D}\cos\theta-x\sin\theta\\
\end{align}

が成立。

 \displaystyle x\mathcal{D}に対するconjugation作用が等しいことから、準同型定理により、そこから生成される任意の線形作用素G(x,\mathcal{D})に対してconjugation作用が一致することになる。双方が逆元を持つ結合作用素なので、ある定数aが在って

\begin{align} \displaystyle e^{\frac{i}{2}\theta(\mathcal{D}^2-x^2+1)}・g(x)=a\sqrt{\dfrac{1-i\cot\theta}{2\pi}}e^{\frac{i}{2}x^2\cot\theta}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{i}{2}x^2\cot\theta-ixtc sc\theta}g(t)\ dt\end{align}

と書ける。g(x)=e^{-\frac{1}{2}x^2} と置くと、

(\mathcal{D}^2-x^2+1)・g(x)=0より(左辺)=g(x)

またFractional Fourier変換の記事で例としてあげた公式より、右辺もg(x)となる。

よってa=1これにより[定理1]は示された。

\begin{align} \displaystyle e^{\frac{i}{2}\theta(\mathcal{D}^2-x^2+1)}・g(x)=\sqrt{\dfrac{1-i\cot\theta}{2\pi}}e^{\frac{i}{2}x^2\cot\theta}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{i}{2}x^2\cot\theta}g(t)e^{-ixtcs c\theta}\ dt\end{align}

ところで、左辺はよく見るとFourier変換の形をしています。微分作用素の交換子の準備の記事に置いてあった公式

\begin{align}q^{x\mathcal{D}}・g(x)=g(qx)\end{align}

を使ってやると、

\begin{align}\\
\displaystyle & e^{\frac{i}{2}\theta(\mathcal{D}^2-x^2+1)}・g(x)\\
\displaystyle = &|\sin\theta |\sqrt{\dfrac{1-i\cot\theta}{2\pi}}e^{\frac{i}{2}x^2\cot\theta}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{i}{2}x^2\cos\theta\sin\theta-ixtcs c\theta}g(t\sin\theta)\ dt\\
\displaystyle =&|\sin\theta|\sqrt{1 -i\cot\theta} e^{\frac{i}{2}x^2 \cot\theta}\mathcal{F}・(e^{\frac{i}{2}x^2\sin\theta\cos\theta} g(x\sin\theta))\\
\displaystyle =&|\sin\theta|\sqrt{1 -i\cot\theta} e^{\frac{i}{2}x^2 \cot\theta}\mathcal{F}e^{\frac{i}{2}x^2\sin\theta\cos\theta}\sin^{x\mathcal{D}} ・g(x)\\
\end{align}

とFourier変換\mathcal{F}を用いて書くことが出来ました!

 
◆系◆ \begin{align}\displaystyle e^{\frac{i}{2}\theta(\mathcal{D}^2-x^2+1)}&=|\sin\theta|\sqrt{1 -i\cot\theta} e^{\frac{i}{2}x^2 \cot\theta}\mathcal{F}e^{\frac{i}{4}x^2\sin 2\theta}\sin^{x\mathcal{D}} \theta \tag{1}\end{align}
\begin{align}\displaystyle e^{-\frac{i}{2}\theta(\mathcal{D}^2-x^2+1)}=\dfrac{|c sc\theta|}{\sqrt{1 -i\cot\theta}} \sin^{-x\mathcal{D}} \theta \ e^{-\frac{i}{2}x^2\sin 2\theta}\mathcal{F}^{-1} e^{-\frac{i}{2}x^2 \cot\theta} \tag{2}\end{align}

 

てーり2 ぷろおおふ

(2)は逆変換。Fourier変換のconjugation作用に関する公式 \begin{align}\mathcal{F}x\mathcal{F}^{-1}=i\mathcal{D}\\
\mathcal{F}\mathcal{D}\mathcal{F}^{-1}=ix\end{align}

があり、準同型としてはたらくことから正則2変数関数Gについて

\mathcal{F}G(x,\mathcal{D})\mathcal{F}^{-1}=G(i\mathcal{D},ix)

が成立。(1)\theta\theta+\phiを代入し、両辺に右から(2)を掛けると

\begin{align}&e^{\frac{i}{2}\phi (\mathcal{D}^2-x^2+1)}\\
=&|\sin\theta|\sqrt{1 -i\cot (\theta+\phi)}\  e^{\frac{i}{2}x^2 \cot(\theta+\phi)}\mathcal{F}e^{\frac{i}{4}x^2\sin 2(\theta+\phi)}\sin^{x\mathcal{D}}(\theta+\phi) \\
&×\dfrac{|c sc\theta|}{\sqrt{1 -i\cot\theta}} \sin^{-x\mathcal{D}} \theta\  e^{-\frac{i}{4}x^2\sin 2\theta}\mathcal{F}^{-1} e^{-\frac{i}{2}x^2 \cot\theta}\\
=&\dfrac{\sqrt{1-i\cot (\theta+\phi)}}{\sqrt{1-i\cot \theta}}e^{\frac{i}{2}x^2\cot (\theta+\phi)}\\
&×\left(\dfrac{\sin (\theta+\phi)}{\sin\theta}\right)^{x\mathcal{D}}e^{\frac{i}{4}\mathcal{D}^2\sin 2\theta}e^{-\frac{i}{2}x^2\cot\theta} \end{align}

自由な変数\thetaを動かして\sin\theta=\sin(\theta+\phi)を満たすよう定めると\\

\cos\theta=-\cos (\theta+\phi)である。\phi=2\varphiと置くと

\begin{align}&\sin\theta=\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi\\
&\cot\theta =\dfrac{1-\cos \phi}{\sin\phi}=\tan\varphi\\
&\cot (\theta+\phi) =-\tan\varphi\\
&\sin 2(\theta+\phi) =\dfrac{2\cot\theta+\phi}{1+\cot^2 \theta+\phi}=\sin 2\varphi\\
&\sin 2\theta =-\sin 2\varphi\\
\end{align}

最終的に

\begin{align}\\
&e^{i\varphi (\mathcal{D}^2-x^2+1)} =\dfrac{\sqrt{1+i\tan\varphi}}{\sqrt{1-i\tan\varphi}}e^{-\frac{i}{2}x^2 \tan\varphi}e^{\frac{i}{2}\mathcal{D}^2 \sin 2\varphi} e^{-\frac{i}{2}x^2 \tan\varphi}\\
&e^{i\varphi (\mathcal{D}^2-x^2)} =e^{-\frac{i}{2}x^2 \tan\varphi}e^{\frac{i}{2}\mathcal{D}^2 \sin 2\varphi} e^{-\frac{i}{2}x^2 \tan\varphi}\\
\end{align}

あとは\dfrac{d}{dx_j} ,\dfrac{d}{dx_k}が可換であることを用いて多重化してやると

\begin{align} \displaystyle e^{i\varphi(\nabla^2-X^2)}=e^{-\frac{i\pi}{4}}e^{\frac{i}{2}X^2\tan\varphi}e^{\frac{i}{2}\nabla^2\sin 2\varphi}e^{-\frac{i}{2}X^2\tan\varphi}\end{align}

となり、定理2が示された。Q.E.D.

ただしN\in\mathbb{N}X=(x_1,x_2,\cdots,x_N)\nabla =\left(\dfrac{\partial}{\partial x_1},\dfrac{\partial}{\partial x_2},\cdots,\dfrac{\partial}{\partial x_N}\right)

 

 また、[定理]両辺に\mathcal{F}をconjugation作用させて


 \displaystyle e^{i\varphi(\nabla^2-X^2)}=e^{\frac{i}{2}\nabla^2\tan\varphi}e^{-\frac{i}{2}X^2\sin 2\varphi}e^{\frac{i}{2}\nabla^2\tan\varphi}

◆系◆   \begin{align}\displaystyle e^{i\varphi(\nabla^2-X^2)}=e^{\frac{i}{2}\nabla^2\tan\varphi}e^{-\frac{i}{2}X^2\sin 2\varphi}e^{\frac{i}{2}\nabla^2\tan\varphi}\end{align}

も導ける。

 

 

 \varphi =\dfrac{\pi}{4}を代入すると

\begin{align}e^{\frac{\pi i}{4}(\mathcal{D}^2-x^2) }=e^{-\frac{i}{2}x^2}e^{\frac{i}{2}\mathcal{D}^2}e^{-\frac{i}{2}x^2}\end{align}

◆K◆   \begin{align}\mathcal{F}=e^{\frac{\pi i}{4}(\mathcal{D}^2-x^2 +1) }=e^{\frac{\pi i}{4}}e^{-\frac{i}{2}x^2}e^{\frac{i}{2}\mathcal{D}^2}e^{-\frac{i}{2}x^2}\end{align}

 

面白かったでしょうか??? Fourier変換と微分は単位複素数と座標のような関係にあります。即ち xy直交座標をGauss平面に移植して(x,y) \mapsto x+yiなる同一視を行うのと同様に(u,v)\mapsto ux+iv\mathcal{D}という同一視を行うと原点\theta回転は Ad(\mathcal{F}_{\theta})・(ux+iv\mathcal{D})と与えられるという事はFractional Fourier変換の記事で書いた Ad(\mathcal{F}_{\theta}) ・x=x\cos\theta+i\mathcal{D}\sin\theta Ad(\mathcal{F}_{\theta}) ・i\mathcal{D}=i\mathcal{D}\cos\theta-x\sin\theta から分かります。この2つの式は複素数で言うところのEulerの公式 e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaと対応してます。回転より一般の線形変換はGL_2 \mathbb{C}の作用があります。実はFractional Fourier変換はLinear Canonical変換という形でSL_2 \mathbb{C}の作用を積分変換として表せる事ができるのです!そしてこれも微分作用素表示を持っていて次回の記事の話題とします。これに関しては論文で扱ってるものを見たことがありません。あと、[定理1]、[定理2]は自分で導いた後、2000年辺りの論文に載っている事を確認しました。かなしいw 多重化に関しては、集合の直積と関わりが強く、[定理2]は\mathbb{C}^{N}で各要素を\theta回転させることと対応しています。 Fractional Fourier変換はLinear Canonical Transformは特殊線形群をパラメータとしてとる変換で、その視点でみると、特殊線形群SL_2 \mathbb{C}の中でも回転行列と同型の構造を取れて、2次特殊直交群SO(2)としての性格を持ちます。SO(2)の中に\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}が含まれていて、それが丁度Fourier変換に対応しています。Linear Canonical変換では

\begin{align}\left(\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1 \\
\end{array}\right)\end{align}
なる行列と対応していて、\mathbb{C}の2次元行列による表示での虚数単位iの表示と一致します。 [定理2]をみると同じe^{-\frac{i}{2}x^2}で両側から挟み込まれた形態をしていますが、何故なのかはあまり理解してません。 2階微分作用素の指数関数の交換子公式を使って[定理2]を先に進める事ができます!

 

Tayley 3 pluiph

 

\circはJordan積といいA\circ B=\dfrac{AB+BA}{2}という定義で‪[準備]で話したように交換子の公式\mathcal{D}x-x\mathcal{D}=1を使うと‬
\mathcal{D}\circ x=x\mathcal{D}+\dfrac{1}{2}となる。‬
‪これをN個足し合わせて偏微分\nabla \circ X =X・ \nabla +\dfrac{N}{2}‬と計算できる。ここで補題

 

補題    \begin{align}e^{\frac{i}{2}\alpha \mathcal{D}^2}e^{\frac{i}{2}\beta x^2} =e^{\frac{i}{2}\frac{\beta}{1+\alpha \beta}x^2 } (1+\alpha\beta)^{-x\circ \mathcal{D}} e^{\frac{\alpha}{1+\alpha\beta} \mathcal{D}^2}\end{align}
 
 [補題の証明]

被作用関数として g(x)=\displaystyle \sum_{k} a_k e^{kx}\ \ \ (k\in K\subset \ \mathbb{C},|K|=\aleph_0)を考え、両辺のe^{kx}への作用が一致することを示せば、e^{kx}(k\in K)が一次独立で局所的に正則な関数全体を張ることから作用素の等号を示すことができる。(RHS)(LHS)でそれぞれ[補題]の右辺、左辺の事を指す。e^{kx}\mathcal{D}固有値k対応の固有関数であるので、0kを正則な領域に含む形式的冪級数が存在する任意の関数Pについて

P(\mathcal{D})・e^{kx} =P(k)e^{kx}となることは[準備]で話した通りである。従って

(RHS)・e^{kx} =\dfrac{1}{\sqrt{1+\alpha\beta}}e^{\frac{i}{2}\frac{\alpha}{1+\alpha\beta} x^2 +\frac{k}{1+\alpha\beta}x+\frac{i}{2} \frac{\beta}{1+\alpha \beta} k^2}

となる。(LHS)作用はGauss積分作用素を応用する。先ず次の等式が成立する。

 \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(t-z)^2}dt =\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} (a\in\mathbb{C}\backslash \mathbb{R}_{0-},z\in \mathbb{C}

\mathbb{R}_{0-}で分岐してしまうので多価性は排除している。これにz=c\mathcal{D}(c\in \mathbb{C})を代入すると、

\begin{align}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-at^2+2atc\mathcal{D}-ac^2 \mathcal{D}^2}dx =\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} \end{align}

\begin{align}\displaystyle e^{ac^2 \mathcal{D}^2} =\sqrt{\dfrac{a}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{2atc\mathcal{D}} dt\end{align}

すなわち、e^{s\mathcal{D}}・g(x)=g(x+s)を用いると

\begin{align}\displaystyle e^{ac^2 \mathcal{D}^2} ・g(x)=\sqrt{\dfrac{a}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}g(x+2atc) \ dt\end{align}

が成立。2回微分作用の指数関数は解析的に書けるのである。因みにWeistrass変換と呼ばれている。

\begin{align}a=\dfrac{\pi}{1+\alpha \beta},c=\sqrt{\dfrac{i}{2}\dfrac{\pi \beta}{1+\alpha \beta}}\end{align}

としてこれを用いると

\begin{align} & \displaystyle (LHS)・e^{kx}\\
\displaystyle =&e^{\frac{i}{2}\beta \mathcal{D}^2}・e^{\frac{i}{2}\alpha x^2+kx}\\
\displaystyle =& \dfrac{1}{\sqrt{1+\alpha \beta}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\dfrac{-\pi}{1+\alpha\beta} u^2}e^{\dfrac{i\alpha}{2} \left(x+u\sqrt{\dfrac{2\pi i\beta}{1+\alpha\beta}}\right)^2}e^{k\left(x+u\sqrt{\dfrac{2\pi i\beta}{1+\alpha\beta}}\right)^2} du\\
\displaystyle =& \dfrac{1}{\sqrt{1+\alpha\beta}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{\dfrac{-\pi u^2}{1+\alpha\beta}}e^{\dfrac{-\pi \alpha\beta u^2}{1+\alpha\beta}}e^{kx} du\\
&×e^{ix\alpha u\dfrac{2\pi i\beta}{1+\alpha\beta}}e^{\dfrac{i\alpha x^2}{2}}e^{ku\sqrt{\dfrac{2\pi i\beta}{1+\alpha\beta}}} dt\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1+\alpha\beta}}e^{\dfrac{i\alpha x^2}{2} +kx}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi u^2}e^{2\pi u\sqrt{\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{i\beta}{1+\alpha\beta}}(i\alpha x+k)} du\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1+\alpha\beta}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\pi}}e^{\dfrac{i}{2}\alpha x^2 +kx}e ^{\dfrac{1}{2}\dfrac{i\beta}{1+\alpha\beta} (i\alpha x+k)^2}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1+\alpha\beta}}e^{\dfrac{i}{2}\dfrac{\beta k^2}{1+\alpha\beta}}e^{\dfrac{ix^2}{2}\dfrac{\alpha^2\beta+\alpha-\alpha^2\beta}{1+\alpha\beta}}e^{kx+i\alpha k ix\dfrac{i\beta}{1+\alpha\beta}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1+\alpha\beta}}e^{\dfrac{ix^2}{2}\dfrac{\alpha}{1+\alpha\beta}}e^{\dfrac{i}{2}\dfrac{\beta k^2}{1+\alpha\beta}}e^{\dfrac{kx}{1+\alpha\beta}}\\
\end{align}
 
と一致するので、(RHS)=(LHS)となり補題の証明完了! Q,E,D
なおz=\dfrac{d}{dx}の代入の是非は微分作用素を‪冪級数間の線型写像の表現行列として表すと行列式が0で、z=0について積分は正則であることから従う‬
 
補題からは定理3の主張は楽に従う。
 
\begin{align}1+\cot\theta \sin 2\theta=\cos 2\theta \end{align}
を用いると
\begin{align}&e^{i\theta (\mathcal{D}^2-x^2)}\\
=&e^{-\frac{i}{2}x^2}\left(e^{\frac{i}{2}\mathcal{D}^2 \sin\theta}e^{-\frac{i}{2}x^2\cot\theta}\right)\\
=&e^{-\frac{ix^2}{2}\cot\theta}e^{-\frac{ix^2}{2}\frac{\cot\theta}{1-\sin 2\theta \cot\theta}}(1-\cot\theta \sin 2\theta )^{-x\circ \mathcal{D}}e^{\frac{i\mathcal{D}^2}{2}\frac{\sin 2\theta}{1-\sin 2\theta \cot\theta}}\\
=&e^{ \theta (\mathcal{D}^2 -x^2)}=e^{-\frac{i}{2}x^2 \tan 2\theta}\cos^{-x\circ \mathcal{D}} 2\theta e^{\frac{i}{2} \mathcal{D}^2 \tan 2\theta}\end{align}
 
これを多重化させて、\theta \leftarrow \dfrac{1}{2}\thetaとすると
 
\begin{align}e^{\frac{i}{2} \theta (\nabla^2 -X^2)}=e^{-\frac{i}{2}X^2 \tan\theta}\cos^{-X\circ \nabla} \theta \ e^{\frac{i}{2} \nabla^2 \tan \theta}\end{align}
 
 

Ray

なんか例示したくなったのでします。部分積分再帰的に用いることで
\begin{align}\int_0^\infty x^{2n} \exp\left(-\frac{x^2}{a^2}\right)dx &= \sqrt{\pi} \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}} a^{2n+1} =\sqrt{\pi}\frac{\left(2n\right)!}{n!}\left(\frac{a}{2}\right)^{2n+1},\\
\int_0^\infty x^{2n+1} \exp\left(-\frac{x^2}{a^2}\right)dx &= \frac{n!}{2} a^{2n+2}\end{align}
 となるので、定理3右辺をx^{n}に作用させてゴリゴリ計算すると
\begin{align}&\sqrt{\dfrac{c sc\theta}{2\pi}}e^{\frac{i}{2}x^2 \cot\theta -\frac{i}{2}x^2 \sec\theta c sc\theta}\int^{\infty}_{-\infty}e^{\frac{i}{2}t^2 \cot\theta}(t+x\sec\theta)^{n} dt\\
=&\displaystyle \sqrt{\dfrac{c sc\theta}{2\pi}}e^{-\frac{i}{2}x^2 \tan \theta}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{n!}{\Gamma (n-m+1)\Gamma (\dfrac{m}{2}+1)}(\frac{i}{2}\tan \theta)^{m+\frac{1}{2}}(x\sec \theta)^{n-m}\\
=&\displaystyle \sum_{N=0}^{\infty} x^N \sum_{K=0}^{\infty}\sqrt{\dfrac{c sc\theta}{2\pi}}\dfrac{n!\cos^{2K-N}\theta (\frac{i}{2}\tan\theta)^{n+2K-N+\frac{1}{2}}}{\Gamma (N-2K+1)\Gamma (\frac{n-N}{2}+K+1)}\\
\end{align}
 
と計算できます。興味深きことに右辺は左辺の解析接続を与えています。というのは、e^{\mathcal{D}^2-x^2+1}・x^n\exp級数展開すると\dfrac{1}{N!}(\mathcal{D}^2-x^2+1)^N ・x^nが出てきますが、N\rightarrow \inftyで係数が発散してしまうので係数膨張で級数は計算できませんが、右辺の表示を経由することで値を正当に計算できるのです!!作用素の解析接続は面白いです。
 
 
今回はここで終わりにしようと思います。どうですか??
続きの記事、LinearCanonical変換、物理学への応用なども書きたいですが、鉄緑の勉強に殺されそうでいつ書くかわかりません(´・ω・`) ショボーン
 
では!

交換子の公式の準備

こんにちはー(`・ω・)b

 

Fractional Fourier Transform(FrFT,分数階フーリエ変換)の微分作用素の表示

(りんく)

の下準備としてこの記事を書きます。

 

微分作用素の交換子の計算をLie括弧積をつかって色々やります

 

微分作用素とは、正則関数間の変換を与える線形作用素で、

形式的冪級数 \displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} f_k (x-a)^{k}

 \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)f_{k+1} (x-a)^{k}に変換する

ものである。冪級数の係数のみを取り出し(f_0 ,f_1 , \cdots )^{t}のように

表すと無限次元複素ベクトル空間の元と対応するが、微分作用によって

(f_1 ,2f_2 ,\cdots )^{t}と変化するので微分作用素\dfrac{d}{dx}

行列(l\delta_{k,l-1})_{k,l\in \mathbb{N_{0}}}という無限次元行列と見なせる。

この行列を介して微分作用素の指数関数を自然に導入できる。

幾つかは既に記事としてあります。


 (クソ古い記事)

akaghef.hateblo.jp

Lie括弧積の計算についてみていきましょ〜

[定義] 次を満たす線型空間上の双線型形式[ー,ー]をLie括弧積と言う。

 [ X,Y] =-[ Y,X]

[X,[ Y,Z ] ] +[ Y,[ Z,X ] ]+[ Z ,[X,Y] ] =0 (Jacobi恒等式)

 

複素数の形式的冪級数A=\mathbb{C} [ [ x] ]線型空間で、そこに微分作用素\mathcal{D}=d/dxを付加えて交換子[X,Y] =XY-YXを計算できる。

交換子の公式についてはここを参照してください〜

 

physnotes.jp

以後使う公式はここから出します。

 ad(X)・Y=ad_X(Y)=[ X,Y ]Ad(X)・Y=Ad_X(Y)=XYX^{-1}と書く。

混乱の無いようa,bスカラーでどの元とも可換に計算できる、f,gは関数と定めておく。

記法上の注意だが、\mathcal{D}f(x)\mathcal{D}・f(x)をドット積"・"で厳密に区別する。

前者は作用素で、関数g(x)に作用させると

(\mathcal{D}f(x))・g(x)=\mathcal{D}・(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

と計算される。後者はただの微分\mathcal{D}・f(x)=f'(x)である。

関数値やスカラーのドット積はその値をそのまま掛けると定めるf(x)・g(x)=f(x)g(x)

微分Leibniz則に従うので\mathcal{D}・(f(x)g(x))=f(x)\mathcal{D}・g(x)+(\mathcal{D}・f(x))・g(x)となるが

(\mathcal{D}f(x)-f(x)\mathcal{D})・g(x)=f'(x)・g(x)

より作用に関して[ \mathcal{D},f(x) ] =f'(x)が成立。

特にf(x)=xとして

[1] [\mathcal{D},x]=1                          

を導く。、量子力学では、正準交換関係(CCR)の数式として登場する。次\mathcal{D}の指数関数は量子力学の平行移動の演算子として登場する。

[2] e^{a\mathcal{D}}・g(x)=g(x+a)

同様に変数変換してやると、並進演算子

[3] a^{x\mathcal{D}} ・g(x)=g(ax)

が出る。q-derivativeと差分が、Lie環・群の対応のように結びつく。

 [1]より特に[\mathcal{D},[\mathcal{D},x]]=[x,[\mathcal{D},x]]=0であるので

 [参照]よりe^{ax+b\mathcal{D}}=e^{\frac{1}{2}ab}e^{ax}e^{b\mathcal{D}}

と計算できる。

 x\mathcal{D} はEuler作用素などと呼ばれるが、x=e^{t}と変数変換してやればx\mathcal{D}=\frac{d}{dt}である。またJordan積はA\circ B=\frac{AB+BA}{2}という記法もあり、x\circ \mathcal{D}=x\mathcal{D}+\frac{1}{2}は対称性を重視する際よく出てくる。

ここまでxと\mathcal{D}の複合された数式を幾つか見ましたが、一般の等号の成立の条件を実はよく理解していません。というのは\mathcal{D}は元々は無限次元の作用素であり有界でないので、Hillbert空間の論法も通じず、非可換なので行列式等も複雑になる代数なので、一般の性質を探るのは専門家以外無理なんじゃないでしょうか(もし扱ってる書籍あれば知りたい)

とはいえ、Segal-Shale-Weil表現のような良い構造を持つのは確かで、テストに追われてて時間ないので厳密な構成については省き、今の所病的でない素性の良いものだけを取り扱います。

線形代数の教科書を参照する。(有限次元に関するものだが)

一般に作用素\mathcal{T}固有値\lambdaに対応する固有関数fについて、

作用素\mathcal{T}を行列として表し\det T\lambdaの2つがともに冪級数Pの収束円内に入るなら、P(T)・f=P(\lambda)fと計算される。

形式的には \displaystyle \sum_n a_n x^{n}と冪級数展開された関数を\sum_n a_n P(n)x^{n}に変換したいとき、作用素x\mathcal{D}固有値mに対応する固有関数はkx^m(k\in \mathbb{C})となることから、変換を与える作用素P(x\mathcal{D})と分かる。

\dfrac{1}{x}は形式的冪級数の次数を1下げる作用素として機能するので、\mathcal{[[ \dfrac{1}{x}]]}作用素の因子に含んでいても問題ない。しかし

\mathcal{D}^{-1}については解析的に全て都合よく表すことは出来ないため、

微分作用素として代数的に扱うことが望ましい。

非整数階数の微分を考えることがRiemann-Liouville作用素として積分変換の形で導入されている

\mathcal{D}^{-\alpha}:g(x)\rightarrow \dfrac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{x} (x-t)^{\alpha}g(t)\dfrac{dt}{t}

これは加法性、つまり\mathcal{D}^{-\alpha}\mathcal{D}^{-\beta}=\mathcal{D}^{-(\alpha+\beta)}を満たす。

 

微分環がLie環と強く関連することを述べる。

(F,\partial)微分環とするとF\partialはLie環である。これはLeibnitz則を使うとf\partial,g\partial,h\partial \in F\partialについて

[f\partial,g\partial] =f\partial g\partial-fg\partial^2+gf\partial^2-g\partial f\partial

=f(\partial g-g\partial)\partial-g(\partial f-f\partial )\partial=(fg'-f'g)\partial

[[f\partial,g\partial] ,h\partial ]=[(fg'-f'g)\partial ,h\partial]=((fg'-f'g)h'-(fg''-f''g)h)\partial

を巡回的に足しあげると

[[f\partial,g\partial] ,h\partial ] +[[g\partial,h\partial] ,f\partial ] +[[h\partial,f\partial] ,g\partial ] =0

をみたすのでJacobi恒等式が満たされるのでF\partialはLie環である。

 [\partial ,f]=f'として数体Kから関数の集合Fをつくり、微分(F,\partial)からLie環K\partial\oplus F を組み上げる事も出来て、

[[\partial,f],g]=[[f,g],\partial]=[[g,\partial ]f]=0

より結合的なLie括弧積が出来上がる。

 

 雑多な内容になりましたが、続く記事の準備としたいと思います。

多分あとから更新して内容加えていくと思います。

 

 では(^^)/

 

 

 

 

実数階フーリエ変換

こんばんは( *・ω・)ノ久しい更新です

先日、60ページくらいある進捗の数式全部書いたノート失くして心が枯れてます^^;

進捗を公開して、モチベ上げようと思います。

Fourier変換の微分作用素と諸公式の証明を目標に頑張ります(`・ω・´)ゞ

 

では開始。今回、Fourier変換\mathcal{F}の流儀は

\displaystyle \hat{g} (x)=\mathcal{F}・g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ixt} g(t)\ dt

と定める。逆変換は

 \hat{g} (-x)=\displaystyle \mathcal{F}^{-1}・g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty} e^{ixt} g(t)\  dt

である。\mathcal{F}の作用には周期性があり

\mathcal{F}^{2} ・g(x)=g(-x)\mathcal{F}^{4}・g(x)=g(x)\mathcal{F}^{4}=1

となる。(後方2つは同じ意味)

実は今後見ていくように\mathcal{F}虚数単位iと同様の構造を持つ事が解析的にも表現論的にも判明します!!  本記事では\mathcal{F}\mathbb{Z}回作用を\mathbb{R}回まで拡張したものをwikiで見て、証明を自分で考えてみたので、載せようと思います。

 

[主定理] 以下がFourier変換の実数階作用を与える

\displaystyle \mathcal{F}_{\theta} ・g(x)=\sqrt{\frac{1-i\cot\theta}{2\pi}} e^{\frac{i}{2} x^{2}\cot \theta}\int_{\mathbb{R}} e^{\frac{i}{2} t^{2} \cot \theta-ixt\csc \theta} g(t) \ dt

 

 

\int_{\mathbb{R}}区間-\infty \rightarrow \infty,\infty \rightarrow -\infty両方の積分を考えていて、Fourier変換作用自体の持つ2価な性質を反映している。因子の\sqrt{\ }の持つ代数分岐が原因だが、計算の都合上、積分区間-\infty \rightarrow \infty\sqrt{\ }の値域は偏角(-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2})で定めて置くことにする。

Fourier変換の拡張は幾らでも人為的に作れますが、後々見る微分作用素による表現論的解釈を考えると極めて自然な定義と唸るでしょう。以下特徴付け

 

[命題]

 

(i)特殊ケース   \mathcal{F}_0 =1,\mathcal{F}_{\frac{\pi}{2}}=\mathcal{F}

(ii)基本周期2\pi   \mathcal{F}_{2\pi+\theta}=\mathcal{F}_{\theta}

(iii)加法性   \mathcal{F}_{\alpha} \mathcal{F}_{\beta} = \mathcal{F}_{\alpha +\beta}

 

 

[証明]

[補題]Gauss積分 z\in \mathbb{C},a\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}_{0-}

 \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(t-z)^{2}}\  dt=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}

 

(i)\mathcal{F}_0は発散してるので極限値で与える。

 \displaystyle \mathcal{F}_0 ・g(x)

 \displaystyle = \lim_{\alpha \rightarrow 0}\sqrt{\frac{1-i\cot \alpha}{2\pi }} e^{\frac{i}{2} x^{2}\cot \alpha}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2}t^{2} \cot \alpha -ixt \csc \alpha} g(t)\ dt

 \displaystyle = \lim_{\alpha \rightarrow 0}\sqrt{\frac{1-i\cot \alpha}{2\pi}} e^{\frac{i}{2} x^{2}\cot \alpha-\frac{i}{2} x^{2} \csc \alpha \sec\alpha}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2} \cot \alpha (t-x \sec \alpha)^{2}} g(t)\ dt

 \displaystyle = \lim_{k \rightarrow +\infty}\sqrt{\frac{1-ik(1+O(k^{-2}))}{2\pi}} e^{\frac{i}{4} x^{2}\frac{1}{k}(1+O(k^{-2}))} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{ik}{2}(1+O(k^{-2}) (t-x+O(k^{-2}))^{2}}g(t)dt

 \displaystyle = \lim_{k \rightarrow +\infty}\sqrt{\frac{1-ik}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2} t^{2}}g(\frac{t}{\sqrt{k}}+x)d\dfrac{1}{\sqrt{k}}t

 \displaystyle =\sqrt{\dfrac{-i}{2\pi}}\sqrt{\dfrac{2\pi}{-i}} g(x)

=g(x)

 

\mathcal{F}_{\frac{\pi}{2}}=\mathcal{F} は容易に分かる。

 //

 

(ii) 定数関数g(x)=1 に作用させると

 

 \displaystyle \mathcal{F}_{\theta} ・g(x)=\sqrt{\dfrac{1-i \cot \theta}{2\pi i}} e^{\frac{i}{2} x^{2} \cot \theta}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2} t^{2} \cot \theta -ixt \csc \theta} \ dt

 \displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i \cot \theta}{2\pi }} e^{\frac{i}{2} x^{2} \tan \theta }\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{i}{2}  \cot \theta (t- x\sec \theta)^{2}} \ dt

 \displaystyle =\sqrt{1+i \tan \theta}e^{-\frac{i}{2}x^{2} \tan \theta}

となる。この事から\mathcal{F}2\pi未満の周期性を持たない。

また、等式から周期2\pi\mathcal{F_{\theta+2\pi}}=\mathcal{F}_{\theta}は容易に分かる。

 //

 

(iii)本題であります。

K_{\alpha} (x,t)=\sqrt{\dfrac{1-i\cot \alpha}{2\pi}} e^{\frac{i}{2} (x^{2}+t^{2} )\cot \alpha -ixt \csc \alpha}と置く。

 \displaystyle \mathcal{F}_{\alpha} \mathcal{F}_{\beta} ・g(x)

 \displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} K_{\alpha} (x,u) K_{\beta } (u,v)g(v)\  du dv

 \displaystyle \mathcal{F}_{\alpha +\beta} ・g(x) 

 \displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} K_{\alpha +\beta} (x,t)g(t)\ dt

 

この2つから、

 \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} K_{\alpha} (x,u) K_{\beta} (u,t) \ du=K_{\alpha +\beta} (x,t) 

を示せば十分と分かる。

複素平面で考えれば1-i\cot \alpha ,1-i\cot \beta ,\dfrac{i}{\cot \alpha +\cot \beta }

は虚部が全て同符号となる事は無い。従って\cotの加法定理より

\sqrt{1-i\cot \alpha}\sqrt{1-i\cot \beta}\sqrt{\dfrac{i}{\cot \alpha +\cot \beta}i}

=\sqrt{\dfrac{1-i\cot\alpha- i\cot\beta -\cot \alpha \cot \beta }{\cot \alpha +\cot \beta}i}=\sqrt{1-i\cot (\alpha +\beta )}

と計算できる。従って

 \displaystyle \int_{\mathbb{R}} K_{\alpha} (x,u) K_{\beta} (u,t) \ du

 \displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i\cot \alpha}{2\pi}} \sqrt{\dfrac{1-i\cot \beta}{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( \dfrac{i}{2} (x^{2}+u^{2})\cot \alpha-ixu\csc \alpha \right)

×\exp \left(\dfrac{i}{2}(u^{2}+t^{2})\cot \alpha -iut \csc \alpha \right) du 

  \displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i\cot \alpha}{2\pi}} \sqrt{\dfrac{1-i\cot \beta}{2\pi}}\exp \left( \dfrac{i}{2} (x^{2} \cot \alpha +t^{2} \cot \alpha \right)

 ×\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( \dfrac{i}{2} u^{2}( \cot \alpha+ \cot \beta ) -iu(x\cot \alpha+t\cot \beta \right)

 \displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i\cot \alpha}{2\pi}} \sqrt{\dfrac{1-i\cot \beta}{2\pi}}\exp \left( \dfrac{i}{2} (x^{2} \cot \alpha +t^{2} \cot \alpha ) \right)

  \displaystyle × \exp \left(-\dfrac{i}{2} x^2 \dfrac{(x\csc \alpha +t\csc \beta )^2}{\cot \alpha +\cot \beta} \right)\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(\dfrac{i}{2}  u^2 (\cot \alpha +\cot \beta ) \right) \ du

 \displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i\cot \alpha}{2\pi}} \sqrt{\dfrac{1-i\cot \beta}{2\pi}} \sqrt{\dfrac{2\pi i}{\cot \alpha +\cot \beta }}\exp \left( -ixt\dfrac{\csc \alpha \csc \beta}{\cot \alpha +\cot \beta} \right)

×\exp \left(\dfrac{i}{2} x^{2} \dfrac{\cot^2 \alpha +\cot \alpha \cot \beta -\csc^2 \alpha}{\cot \alpha +\cot \beta} +t^2 \dfrac{\cot^2 \beta+\cot\alpha\cot\beta-\csc^2\beta}{\cot\alpha+\cot\beta} \right)

 =\sqrt{\dfrac{1-i \cot (\alpha +\beta )}{2\pi}} \exp \left(\dfrac{i}{2} (x^2+t^2)\cot (\alpha+\beta)-ixt\csc(\alpha+\beta)\right)

K_{\alpha+\beta} (x,t)

//

(i)(ii)(iii)より主定理は証明された。

Q.E.D. 証明完了!(`・ ω・´)ゞ

 

積分形が与えられているので1日で自力で証明出来ましたが発見するのは難しいと思います。

任意の線形作用素は、超関数も許せば2変数関数(核関数)\Phi によって \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \Phi (x,t)g(t) dtなる形に書けることが知られています(Scwartzの定理)

分数階フーリエ変換変換はMehler核という2次の指数関数\Phi =K_\theta (x,t)を用いて解析的に良い形で書けるわけです。

具体的な関数の作用について見ていきましょう。

[例]

 e^{iax^2+ibx+ic}に作用させるとGauss積分より

\mathcal{F}_{\theta} ・e^{iax^2+ibx+ic}

  \displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i\cot \theta}{2\pi}} e^{ic+\frac{i}{2}x^2\cot\theta}\int_{-\infty}^{\infty}e^{it^2(\frac{1}{2}\cot\theta+a)-tx(\cot\theta-b)}dt

 \displaystyle =\sqrt{\dfrac{1-i\cot \theta}{2\pi}}e^{-\dfrac{i}{2}\dfrac{(x\csc\theta-b)^2}{\cot\theta+2a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{it^2(\frac{1}{2}\cot\theta+a)}dt

=\sqrt{\dfrac{i+\cot\theta}{2a+\cot\theta}}e^{-\dfrac{ix^2}{2}\dfrac{2a\cot\theta+1}{2a+\cot\theta}}e^{i\dfrac{bx\csc\theta}{2a+\cot\theta}}e^{-\dfrac{i}{2}\dfrac{b^2}{2a+\cot\theta}+ic}

 a=0の場合を足しあげて

\mathcal{F}_{\theta} ・\cos \omega x=\sqrt{1+i\tan\theta}e^{-\dfrac{i}{2}(x^2+\omega^2)\tan\theta}\cos(\omega x\sec\theta)

\mathcal{F}_{\theta} ・\sin \omega x=\sqrt{1+i\tan\theta}e^{-\dfrac{i}{2}(x^2+\omega^2)\tan\theta}\sin(\omega x\sec\theta)

 

などなど。性質について探って行きましょ〜(証明は楽)

[性質]

\mathcal{F}_{\theta}・g(x)=g_{\theta} (x)等と書いておきます。

・線型性

 \displaystyle \mathcal{F}_{\theta}・(a g(x)+bh(x))=ag_{\theta} (x)+bh_{\theta}(x)

・逆変換

\mathcal{F}_{\theta}^{-1}=\mathcal{F}_{-\theta}

・可換

\mathcal{F}_{\alpha}・g_{\beta}(x) =\mathcal{F}_{\beta} ・g_{\alpha} (x)

・結合

(\mathcal{F}_{\alpha}\mathcal{F}_{\beta})・g_{\gamma} (x)=\mathcal{F}_{\alpha}(\mathcal{F}_{\beta}\mathcal{F}_{\gamma})・g(x)

・引数平行移動

\mathcal{F}_{\theta}・g(x+T)=e^{\frac{i}{2}T^2\cot\theta}e^{ixT\csc\theta}g_{\theta} (x+T\cos\theta)

・反転

\mathcal{F}_{\theta} ・g(-x)=g_{\theta} (-x)

・指数関数倍

 \mathcal{F}_{\theta} ・(e^{ikx}g(x))=e^{-\frac{i}{4}k^2\sin 2\theta}e^{ikx\cos\theta}g_{\theta} (x-k\sin\theta)

複素共役(実関数f)

f_{\theta}^* (x)=f_{-\theta} (x)

・Parseval等式
積分表示から、K_0 (x,t)=\delta (x-t)と書けるので
 \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_{\theta}^* (t)g_{\theta}(t)dt
 \displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f^*(u)g(v)\int_{-\infty}^{\infty}K_{-\theta}(u,t)K_{\theta} (t,v)dtdudv
 \displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} K_0 (u,v)f^*(u)g(v)dudv
 \displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f^*(u)g(v)\delta(u-v)dudv
 \displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} f^*(t)g(t) dt

 \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_{\theta}^* (t)g_{\theta}(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty} f^* (t)g(t)dt

まぁざっとこんなもんですかね。次の次の次の記事がきっと凄く面白い内容となるでしょう!

  ]