赤げふの数学

数学の高校生 赤げふのBLOG

Möbius関数の幾何級数型等式

久しぶりの投稿であります(。・ω・)ノ゙ 

Möbius関数を見てたら面白い公式を見つけました

結論からいうと全く意味が分かりません(´・ω・`)

読む意味もあるのか分かりません(´・ω・`)

 

 

任意の整数n\geq 2に対し(tex変ですが気にしないで笑)

\displaystyle \mu (n) =-\sum_{\dfrac{a \geq 2}{a=n}} 1 +\sum_{\dfrac{a,b\geq 2}{ab=n}} 1 -\sum_{\dfrac{a,b,c \geq  2}{abc=n}} 1 + \cdots

シグマの各変数は自然数になるように動きます

参考Wikipedia...

Möbius function - Wikipedia

まずabc\geq 2の条件をabc\geq 1に書き換えます、

簡単のため正整数mに対し

 \displaystyle [m] :=\sum_{\dfrac{a_1,a_2,\cdots ,a_m \geq 1}{a_1 a_2 \cdots a_m =n}}

と書きます(Symbolの簡約化)

すると、上式は組み合わせ論の知識を用いて

\mu (n)= (-[1] +(-2[1] +[2]) +(-3[1]+3[2]-[3] )+\cdots ) 1

となることが各項の\sumに着目すれば帰納的に分かるでしょう。

\sumを足してますが、1を各項に分配してそれを足しあげると思えば良いでしょう。

見通しよくするため[m]間の冪・積を

[a] [b] =[a+b]

[a] ^0 =[0]=0

と約束すれば

\mu (n) =\left(\left([ 0]-[1]\right)^{0}+([0]-[1])^{1} +([0]-[1])^{2} +([0]-[1])^3 +\cdots \right) 1

となり、これが形式的冪級数であると解釈したなら

\mu (n)=\dfrac{1}{[0]-([0]-[1] )}  1

\mu (n)=\dfrac{1}{[1]} 1

\mu (n)=[-1] 1

となりました\( ´・ω・`)┐しゅたっ

冒頭で述べた通りよく分かりません(´・ω・`)

[演習問題(絶望)]-1個の変数について足せってどういうことですか(´・ω・`)

続行研究

 

 [1]の場合を見てきましたが、対数を考えてみましょう(指数法則の類似を満たすので考えることは自然です)

(\log [1]) 1

=\log ([0]-([0]-[1]))1

 \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k} ([0]-[1])^k 1

=\dfrac{1}{m} (n=p^m、pは素数、mは自然数)

=0(他)

となることが分かると思います。

数論的関数としてそこそこ重要な関数が出てきました!

足される関数を今回は1しかやってませんがバリエーション色々つけれるはずです